Las ecuaciones diferenciales son la base sobre la que muchos de los modelos matemáticos, describen las aplicaciones de la vida real, quiere decir entonces que estas se usan para su construcción.
Estas ecuaciones rara vez pueden ser resueltas en forma cerrada; de hecho, la solución exacta muy pocas veces puede ser caracterizada a través de una fórmula explícita, y computables matemáticamente. Es por ello que manera casi inevitable se debe recurrir a los métodos numéricos apropiados, cuyo objetivo es la aproximación (o discretización) del modelo diferencial y, por lo tanto, de la solución exacta.
En gran medida, las ecuaciones diferenciales parciales son las que se usan mayormente en modelos -los problemas que mejor se adaptan a la vida real- ya que los mismos están definidos en múltiples dimensiones espaciales, que dependen de la variable tiempo, pero ellos son en su mayor parte no lineales y con geometrías en sus dominios muy complejas.
Dentro de los métodos numéricos que se usan para estudiar estos tipos de problemas, se encuentran:
- El método de los elementos finitos (MEF): su técnica de discretización es la más popular para el diseño y análisis de problemas ligados a la ingeniería.
- Otro método que es usado y en menor medida es el de diferencias finitas (MDF), al igual que el método de los volúmenes finitos (MVF), y los métodos espectrales, incluidos otros métodos ad hoc para tipos específicos de problemas.
Ahora bien, esas no son la única vía para poder resolver modelos matemáticos a través de ecuaciones diferenciales. Se pueden aplicar estrategias numéricas dirigidas a reducir la complejidad computacional de los modelos,estas incluyen la división del operador y métodos de pasos fraccionarios para la discretización del tiempo, pre-condicionamiento, técnicas para la adaptatividad de las mallas computacionales, métodos de descomposición del dominio, usados para la computación en paralelo, y reducción de bases para resolver eficientemente los ecuaciones parametrizadas eficientemente.
Con respecto a las ecuaciones que se usan para modelar estos fenómenos se encuentran las ecuaciones clásicas lineales elípticas, parabólicas e hiperbólicas, sin embargo los problemas de modelos que involucran otros tipos de ecuaciones, surgen de una serie de diversos campos de aplicaciones, por ejemplo: las leyes de conservación no lineales, ecuaciones de advección-difusión con advección dominante, las ecuaciones de Navier-Stokes, problemas de punto de asiento y problemas de control óptimo, la aproximación de las ecuaciones para el análisis estructural y la propagación de las ondas electromagnéticas.
Podemos apreciar entonces que existen variados modelos que emplean el método matemático más adaptado a la realidad o problema que se desea explicar, destacando las ecuaciones diferenciales parciales, quienes dan respuesta a problemas reales, definidos bajo la variable tiempo. Es el matemático, quien ante la complejidad del fenómeno que se desea explicar, elige el método más adecuado para dar respuesta a su necesidad.
Para Cervantes Ciencias escribió @abdulmath
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