Saludos a todos estimados lectores, bienvenidos a esta nueva publicación en la que compartiré con ustedes contenido académico referente a la Estática Aplicada dirigido a estudiantes de Ingeniería Civil, aunque también es útil para cualquier ámbito referente al equilibrio de fuerzas y diagramas de cuerpo libre.
El despiece de sistemas isostáticos es parte importante del análisis de los mismos, ya que se evidencia el equilibrio interno a través del estudio de sus reacciones internas.
Al igual que la publicación previa:
•Metodología para el cálculo de reacciones externas en Sistemas Isostáticos
Esta publicación aborda la realización del despiece mediante una metodología dada, con el fin de llevar a cabo satisfactoriamente el análisis de los sistemas isostáticos.
Para la realización del despiece nos apoyaremos en las ecuaciones básicas del equilibrio estático, abordadas en el siguiente artículo:
•Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil
Introducción
Las incógnitas estáticas vienen representadas por las reacciones que se generan tanto en los vínculos externos como internos producto de la restricción total o parcial del movimiento en los mismos. En el sistema isostático, al ser este incapaz de presentar movimiento, como respuesta a la acción de un sistema de cargas externo se generarán reacciones en sus vínculos, dependiendo del movimiento que estos restrinjan. El análisis de estos sistemas requiere del cálculo de las reacciones externas e internas.
Nos referiremos a las reacciones internas como las que se transmiten de un elemento lineal a otro (de una barra a otra en el sistema), es decir, las que se generan en los vínculos internos (juntas rígidas, rótulas, bielas paralelas, etc.). Las fuerzas internas que se desarrollan en algún punto intermedio de una barra o elemento lineal también podrían considerarse como reacciones internas, pero el estudio de estas se realizará con más detalle mediante los diagramas de solicitaciones en una futura publicación.
Si consideramos al mismo tiempo tanto las incógnitas externas como internas, el cálculo de las reacciones se vuelve poco práctico y complejo. Es por ello que primero se realiza el abordaje de las reacciones externas (publicación anterior), para luego mediante un estudio de cada barra individual del sistema se logre determinar mediante las ecuaciones de equilibrio estático las reacciones internas que se transmiten entre ellas:
El proceso consiste entonces en elaborar diagramas de cuerpo libre para cada barra o elemento lineal.
Objetivos
Crear una metodología para la realización del despiece de sistemas isostáticos.
Además, podemos sumar los siguientes objetivos específicos:
Aspectos generales del despiece.
Primero que nada, debemos tener claro lo que es una junta, lo cual no necesariamente se refiere solo a la “junta rígida” que puede existir entre dos o más barras. Siguiendo a Luchsinger (1976): “Una junta o nodo es el elemento de conexión entre dos o más miembros entre sí…si bien tiene dimensiones muy pequeñas, es un elemento físico…”. Si bien dicho autor destaca que las juntas en un sistema pueden elegirse, generalmente se escogen de manera tal que los miembros conectados sean rectos. En este sentido, podemos definir una junta como cualquier elemento de conexión entre barras o elementos lineales (junta rígida, rótula, bielas paralelas, etc.
Al igual que en el cálculo de las reacciones externas, cuando se tienen incógnitas estáticas (fuerzas o momentos) conviene asumir un sentido positivo a estas (derecha-arriba-antihorario) de manera que si se obtiene un valor negativo automáticamente se asocie este signo a un sentido contrario a estos mencionados. En este sentido, una vez conocidas las reacciones externas (paso inicial del análisis de sistemas isostáticos) podemos realizar el despiece de la primera barra a analizar, y evidenciar las reacciones internas (asumidas en sentido positivo) en el extremo en el cual dicha barra se vincula con otra (Fig. N°1).
Luego, estas reacciones internas se transmitirán al extremo de la barra subsiguiente en igual magnitud y en sentido opuesto. Y este proceso se repite para todo el resto de barras del sistema, asumiendo cada nueva incógnita en sentido positivo.
Debemos notar que estas reacciones internas (al igual que las externas) están representadas en un sistema de referencia global en el cual se toman dos direcciones convencionales (horizontal o “X”, y vertical o “Y”). Otra forma de llamar a estas reacciones internas sería solicitaciones generales, tal como se hizo mención en el artículo Cálculo de reacciones internas (solicitaciones) mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos. De esta manera podemos evidenciar que no importa cuál sea la vinculación interna entre dos barras, siempre veremos reacciones internas horizontales y verticales ya que ese es el sistema de coordenadas asumido.
Existen casos particulares en los que algunas de las reacciones internas automáticamente son nulas debido a las características del vínculo interno (rótula o bielas paralelas). Por ejemplo, en la rótula el momento interno es nulo, mientras que en las bielas paralelas la fuerza en la dirección perpendicular a las bielas es nula. En las bielas paralelas orientadas en dirección horizontal o vertical, veremos una fuerza interna nula perpendicular a dichas direcciones respectivamente. Si las bielas se encuentran inclinadas, veremos cómo reacciones internas un momento y las componentes horizontal y vertical de la fuerza interna que es paralela a las bielas (Fig. N°2).
Con respecto a las cargas externas, existen detalles a tener en cuenta. Por ejemplo, la rótula no admite momentos aplicados directamente sobre ella, pero si es posible encontrar un momento aplicado en el extremo de alguna o todas las barras que concurren a ella, estos momentos se podrán evidenciar en el despiece de dichas barras, mientras que las cargas puntuales solo aparecerán en un análisis particular de la rótula. Mientras que, en el caso de las juntas rígidas, es posible encontrar cualquier carga concentrada en ellas, sea fuerza puntual o momentos externos, y estas no se evidenciarán en el despiece de cada barra por separado, pero sí en un análisis particular de la junta (Fig. N°3).
El despiece y sus casos particulares
Antes de proceder con la metodología vamos a abordar el equilibrio interno de sistemas isostáticos y la aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático en este ámbito. A través del siguiente ejemplo sencillo compuesto por dos barras (Fig. N°4) se mostrará como hallar las reacciones internas que se transmiten entre estas.
Antes de proceder a realizar el despiece o diagrama de cuerpo libre de cada barra por separado, debemos por supuesto hallar las reacciones externas que se generan en los apoyos a tierra (“A” y “C”). Una vez realizado esto, podemos representar cada barra por separado y poner en evidencia las reacciones internas desconocidas que existen en el extremo “B” de nuestra primera barra (Fig. N°5).
Observando la Fig. N°5 podemos preguntarnos: ¿Cómo sabemos qué reacciones internas (en azul) se generarán en el extremo de la barra que se “separó” de otra? Esto se mencionó anteriormente y depende de cual sea el vínculo interno ubicado en dicha junta (junta rígida, rótula o bielas paralelas). En este artículo se da una descripción más detallada de los vínculos y sus reacciones.
Retomando el ejercicio, vamos a aplicar las ecuaciones de equilibrio estático para hallar las reacciones internas desconocidas en el extremo “B” de la barra “AB” conociendo ya las reacciones externas de “A”.
Estas reacciones del extremo “B” de esta barra se transmiten al extremo “B” de la otra barra en igual magnitud y sentido opuesto, manteniendo así el equilibrio de fuerzas interno del sistema (Fig. N°6).
Una vez hemos llegado a la segunda barra, al observar que no existen más incógnitas estáticas, es necesario que para que esta esté en equilibrio, la resultante de fuerzas en cualquier dirección y de momentos en cualquier punto de ella deben de ser nulas. Esto se comprueba aplicando las ecuaciones de equilibrio estático en el diagrama de cuerpo libre de esta barra.
De no comprobarse el equilibrio estático de la segunda barra es porque se ha cometido algún error bien sea en el cálculo de las reacciones externas o en el cálculo de las reacciones internas y el sentido en que estas se transmiten (es usual equivocarse al cambiar el sentido de una reacción interna cuando se transmite de una barra a otra).
Podría realizarse un análisis particular de la junta “B” evidenciando en ella el equilibrio de fuerzas y momentos, pero no es realmente necesario, porque estas reacciones internas se transmiten sin ninguna variación entre ambas barras. Pero en el caso de observar alguna carga aplicada específicamente aplicada en la junta, esto es necesario.
Caso particular: cargas concentradas en la junta
En la Fig. N°1 existe un sistema de cargas externo dado por una carga distribuida verticalmente hacia abajo. Podemos agregar como parte de las cargas externas una fuerza puntual horizontal y un momento aplicados justo en la junta “B” (Fig. N°7).
Luego de obtener las nuevas reacciones externas (que obviamente serán de diferente magnitud), procedemos a realizar el despiece. Hallar las reacciones internas en “B” para la barra “AB” se realiza de igual manera que el caso previo, pero cabe recordar que las cargas concentradas en la junta no aparecen en el despiece de la barra. Sin embargo, las reacciones internas que se obtengan en el extremo “B” esta barra no se transmiten directamente a la barra siguiente, sino que se debe realizar un análisis particular de junta debido a la presencia de cargas concentradas en la misma, ya que estas introducirán cambios en la magnitud y/o dirección de las reacciones que se transmitirán a la barra siguiente. En la Fig. N°8 se ilustra el análisis particular realizado a la junta “B”.
El análisis de junta consiste en transmitir las reacciones obtenidas de la barra anterior (en igual magnitud y sentido opuesto) a la junta, luego equilibrar estas reacciones con las cargas concentradas aplicadas puntualmente en la junta para así hallar las “fuerzas equilibrantes”, las cuales son necesarias para que exista equilibrio estático en la misma. Estas “fuerzas equilibrantes” son las que se van a transmitir a la barra siguiente en igual magnitud y sentido opuesto. Uno de los errores más comunes por parte de los estudiantes se da en estos casos, al no realizar correctamente el equilibrio de la junta, transmitiendo así “fuerzas equilibrantes” incorrectas a la barra siguiente.
Luego, al igual que el caso anterior, se comprueba el equilibrio estático de la última barra al igual que el caso anterior.
Generalmente, cuando no existen cargas externas en esta “última barra” se puede evidenciar que las reacciones internas obtenidas en el otro extremo de esta son de igual magnitud, como es el caso con la reacción vertical de “C”.
Caso particular: triple junta.
Se da el siguiente ejemplo (Fig. N°9):
Se puede evidenciar que en “B” convergen tres “ramas”: “AB”, “BC”, y “BD”. Para abordar el despiece del sistema en esta situación, debemos primero empezar por alguna “rama”, como por ejemplo la barra “AB”. Luego de calcular las reacciones internas en el extremo “B” de esta barra, nos encontraremos que al transmitir estas a la junta “B” no es posible saber la magnitud de las reacciones internas que se transmitirán a las otras dos barras.
Lo que haremos ahora es escoger alguna de las otras dos “ramas” y repetir el mismo proceso que se realizó con la primera “rama” (barra “AB”). Escogiendo la barra “BC”, se calculan las reacciones internas en el extremo “B” de la barra “BC” y se transmiten a la junta “B” en igual magnitud y sentido opuesto.
Debemos notar que existe una rótula en el extremo de la barra “BC” por lo que el momento será nulo allí (la barra solo transmite a la junta fuerzas puntuales). Tenemos ahora en la junta las reacciones internas que vienen de dos de las “ramas” así como las cargas externas concentradas (una fuerza puntual) y lo que haremos será hallar las “fuerzas equilibrantes” que hacen falta para que la junta esté en equilibrio estático, estas son las reacciones internas que se transmiten a la tercera (última) “rama” (Fig. N°10).
Por último, conviene comprobar que la última barra esté en equilibrio mediante las ecuaciones de equilibrio estático, ya que si no es así es porque se ha cometido algún error en el proceso.
Este proceso de hallar todas las reacciones internas que convergen en una junta hasta que sea posible establecer el equilibrio de la misma es aplicable para juntas en la que converjan “n” cantidad de barras (no solamente tres). Por lo que para “n” cantidad de barras, se deberá realizar el análisis de “n-1” “ramas” para así poder determinar las reacciones internas que se transmitirán a la última “rama”.
Metodología para realizar el despiece de sistemas isostáticos
Podemos establecer una metodología tomando en consideración los casos particulares dados anteriormente. Para ello abordaremos el despiece del siguiente ejemplo, extraído del artículo Abordaje de las ecuaciones de condición en la Estática Aplicada, el cual es de mayor complejidad (Fig. N°11).
No podemos proceder con el cálculo de las reacciones internas en las juntas del sistema si no conocemos de antemano las reacciones externas. Para realizar este paso, podemos guiarnos del artículo anterior: Metodología para el cálculo de las reacciones externas en sistemas isostáticos. También encontramos algunos pasos para la resolución de las reacciones externas en Abordaje de las ecuaciones de condición en la Estática Aplicada.
Este paso consiste en identificar los puntos del sistema en los que debido a la presencia de un vínculo interno de segundo o primer grado alguna de las reacciones internas en el extremo de alguna de las barras del despiece sea nula. Esto se realiza con el fin de identificar correctamente las reacciones internas a calcular al realizar el despiece de las barras.
Solo nos centraremos en los vínculos internos de segundo grado (las rótulas y las bielas paralelas). Los vínculos internos de primer grado realmente son poco usuales, sin embargo, estos nos simplificarían aún más la realización del despiece debido a que introducen solo una incógnita interna. Las juntas rígidas, al ser vínculos de tercer grado, no cuentan para este paso.
Ya sabemos que en las rótulas el momento es nulo. En el caso de las bielas paralelas, sólo tomaremos las que se encuentran orientadas en dirección horizontal o vertical, ya que las que se encuentran inclinadas introducen en el extremo de la barra correspondiente la misma cantidad de reacciones internas que introduciría una junta rígida (ver Fig. N°2). Esto es así porque estamos utilizando el “sistema de referencia global”.
En el sistema que nos sirve de ejemplo, marcamos dichos puntos del sistema en los que se da esta “condición de borde” en la que alguna de las reacciones internas es nula (Fig. N°12). En este caso, solo tenemos un punto donde el momento es cero (M=0) en el punto “C”. Por lo que en el despiece ya sabemos que en el extremo “C” de cada barra una de las tres barras concurrentes el momento será nulo.
Las juntas que no están siendo sometidas a ninguna carga concentrada (fuerza externa o momento externo) no requieren de un análisis puntual porque no introducen ningún cambio en las reacciones internas. En cambio, los casos particulares mencionados anteriormente requieren del análisis particular de la junta (cargas concentradas en la junta y juntas en las que convergen tres o más barras).
En el sistema mostrado podemos apreciar estos casos particulares encerrados en un círculo rojo (Fig. N°13).
Lo que haremos será dibujar cada barra por separado, tratando de mantener de alguna manera la “forma” del sistema original para así llevar mejor el orden en los cálculos que se harán en el paso N°5. Debemos hacer lo mismo con las juntas del paso N°3.
Luego de dibujar cada barra y juntas (identificando estos elementos), evidenciando los extremos donde M=0, procedemos a colocar en su lugar determinado las reacciones externas ya calculadas y las cargas externas que se aplican a cada barra y junta.
Por supuesto, en la junta donde convergen tres barras (“C”) se deberá hacer el procedimiento de los “ramales” explicado anteriormente. En la imagen del sistema (Fig. N°11), podemos observar tres (3) “ramas”: ABC, CD y DEF. En el despiece de la Fig. N°14 se han evidenciado estas ramas, y se ha seleccionado un camino en el que se empieza por la rama N°1 (ABC), para luego proceder con la rama N°2 (BC) y al encontrar las fuerzas equilibrantes en la triple junta a través de un análisis de la misma, se proceda con la última rama (DEF).
A diferencia del cálculo de las reacciones externas, en donde se requiere cierto ingenio y capacidad analítica para notar cual es el camino más fácil para calcular todas estas y luego efectuar los cálculos cuando se tiene ya ideada la solución, para el caso del despiece y cálculo de las reacciones internas, todo se limita a encontrar el equilibrio de cada barra y lo más difícil se encuentra en los casos particulares ya explicados. En este sentido, no es necesario realizar un análisis profundo y se puede empezar a realizar el cálculo de las reacciones internas en cualquier extremo del sistema. Es decir, el orden de los “ramales” es indiferente.
Ya que hemos indicado los extremos donde M=0, al realizar los cálculos sobre cada barra, sabremos que si no existe ninguna indicación en el extremo opuesto de cada barra encontraremos reacciones tanto horizontales como verticales y de momento. Recordemos que, si hemos establecido un camino o “sentido” de recorrido, el “extremo opuesto” será donde se encuentren las incógnitas mientras que en el otro extremo las reacciones son conocidas, excepto en la última barra en la cual ya no quedan incógnitas y debemos verificar el equilibrio de la misma.
El proceso de calcular las reacciones externas en cada barra no es realmente complicado, puesto que solo deberemos aplicar las ecuaciones de equilibrio estático para hallar las incógnitas que le dan equilibrio a la misma.
El proceso consiste en hallar las incógnitas en el extremo opuesto de la barra y transmitir estas en igual magnitud y sentido opuesto al siguiente elemento (barra o junta). En el paso N°4 hemos mencionado que empezaremos por la barra “AB”, así que el primero paso sería hallar las reacciones internas de “B” y transmitirlas a la junta “B” ya que esta requiere de un análisis tal como vimos en el paso N°3. Básicamente, esto se repite para el resto de barras.
En la Fig. N°15 podemos observar todos los pasos o procedimientos empleados para hallar todas las reacciones internas del despiece.
1: se hallaron las reacciones internas en “B”. Sin embargo, sólo se transmitió el momento a la junta. Ya que no hay fuerzas puntuales externas en ella, las fuerzas internas no cambiarán y se pueden transmitir directamente de una barra a otra sin problema.
2: se transmite el momento equilibrante a la siguiente barra. Se calculan reacciones internas del extremo “C”, sabiendo que el momento allí es nulo.
3: se transmiten las reacciones internas a la triple junta “C” (rótula) y nos vamos a la segunda rama.
4: en la segunda rama (barra “CD”) se calculan reacciones internas del extremo “C” sabiendo que el momento allí es nulo.
5: se transmiten reacciones internas de la segunda rama a la rótula “C”.
6: se hallan fuerzas que le dan equilibrio estático a la rótula y se transmiten a la última rama.
7: se calculan reacciones internas del extremo “E” de la barra “CE” y se transmiten a la siguiente barra (última).
8: no hay más incógnitas, se debe verificar el equilibrio estático de la última barra.
Si no se cumple el equilibrio estático en la última barra, se ha cometido algún error. De aquí la importancia de realizar los cálculos con cuidado y orden, ya que un error puede costar tiempo y esto es perjudicial en el caso de un examen parcial.
Para finalizar esta publicación y dar un vistazo de lo que abordaré en la próxima, recordemos que hemos calculado las reacciones internas que se transmiten entre barra y barra según el sistema de referencia global, es decir, son solicitaciones generales (horizontales y verticales). Si queremos hallar las reacciones internas de acuerdo al sistema de referencia local (ejes en dirección longitudinal y perpendicular a cada barra) no tendríamos problema con las barras horizontales y verticales ya que las fuerzas en sus extremos cumplen con ambos sistemas de coordenadas.
Pero ¿Cómo hallamos las reacciones internas según el sistema local en las barras inclinadas?
En una barra inclinada, es común que necesitemos hallar las fuerzas en sus extremos en dirección axial y perpendicular a la misma. Esto conlleva llevar las reacciones internas en sus extremos del sistema global al sistema local. El procedimiento para realizar esto se abordará en la próxima publicación.
Conclusiones
Referencias Bibliográficas
[1]Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 69-74).Fuente
[2]Luchsinger, Cecilio. (1976). Estructuras (Volumen I). Folleto de Estructuras N°4. Departamento de Ingeniería Estructural U.C.V. (pág. 5)Fuente
Material recomendado
•Estática Aplicada: los Vínculos y su Aplicación a Sistemas Estructurales en la Realidad
•Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil
•Abordaje sobre las Ecuaciones de Condición en Estática Aplicada
•Metodología para el cálculo de reacciones externas en Sistemas Isostáticos
Imágenes y ecuaciones de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y Microsoft Word. Imagen de portada elaborada mediante LibreCAD y Microsoft PowerPoint.
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