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Con frecuencia en nuestra vida cotidiana hacemos uso de aplicaciones y dispositivos cuyos principios están fundamentados por la hidrostática o la dinámica de fluidos. Entre las aplicaciones mas especializadas encontramos sistemas hidráulicos, turbinas, sistemas de riego por goteo, lisímetros, infiltrómetros, jeringas, etcétera.
Dada su importancia, en este trabajo abordaremos de forma teórica y experimental el vaciado de un recipiente a velocidad variable y constante fundamentado en los principios de Torricelli y Mariotte, con el objeto de fortalecer y consolidar nuestros conocimientos en el área de la mecánica de fluidos.
Fundamento Teórico
La ley de Torricelli establece que cuando un recipiente con un líquido es vaciado a través de un orificio en su base, la velocidad del líquido disminuye conforme el nivel de este pierde altura.
En su ley, Torricelli pone además de manifiesto que la velocidad de salida del líquido a través del orificio es de igual magnitud a la velocidad de un cuerpo que se deja caer desde una altura cuyo valor es el mismo que existe entre el nivel del líquido en el recipiente y el orificio (Ver figura 1).
(Elaborada por @lorenzor)
Lo planteado por Torricelli puede demostrarse a partir de la Ley de Bernoulli, la cual establece que en un fluido incompresible libre de resistencia la energía se conserva a lo largo de su recorrido.
Matemáticamente la ley de Bernoulli es escrita de la forma:
Donde:
v → Velocidad.
g → Constante de gravedad.
h → Altura desde un punto de referencia.
P → Presión
ρ → Densidad del fluido.
En el sistema que se muestra en la figura 1, la velocidad de salida del fluido en el orificio ubicado en el punto D es obtenida de la ley de Bernoulli, tomando como referencia para la aplicación de esta los puntos identificados como A y D.
Dado que en el sistema la presión en los puntos A y D esta dada por la presión atmosférica, la ecuación se escribe de la forma:
Fijando la referencia en el punto de salida 
y considerando que la velocidad en el punto A es mucho más pequeña que la velocidad en D 
, tenemos que:
y considerando que la velocidad en el punto A es mucho más pequeña que la velocidad en D , tenemos que: 
Esta expresión conocida como la ley de Torricelli evidencia la dependencia directa de la velocidad del fluido en el orificio con la altura H de la columna de líquido por encima del orificio en D. En la medida que el valor de dicha altura disminuya, menor será el valor de la velocidad de salida del fluido.
Este resultado se corresponde con el concepto de presión, ya que esta es una función de la profundidad. Cuanto menor sea el nivel por encima del punto D, menor será la presión que dicha columna ejerza sobre todos los puntos que estén en la línea horizontal que pasa por el punto D, traduciéndose en un menor caudal del fluido.
De esta forma, la disminución de la velocidad del fluido es el resultado esperado en la medida que el nivel del líquido sea cada vez menor.
¿Es posible que la velocidad de salida del líquido por el orificio en D no se debilite y se mantenga con velocidad constante en la medida que el líquido desciende?, ¿Violaría este hecho la ley de Torricelli?
El físico Mariotte dio respuesta a esta interrogante, construyendo un sistema conocido como Frasco de Mariotte, en el que la velocidad de salida del líquido se mantiene invariable en la medida que el nivel del líquido pierde altura.
El diseño presentado por Mariotte consta de un tubo abierto en sus extremos, el cual es insertado en un recipiente sellado, tal y como se muestra en la siguiente figura.
(Elaborado por @lorenzor)
En este sistema se puede observar que inicialmente los puntos A y B están a la misma presión atmosférica. Una vez que el sello es retirado y el líquido comienza a fluir por el orificio en el punto D, el líquido en el tubo desciende, manteniendo el punto B a la misma presión atmosférica, mientras que la presión en A disminuye debido al incremento de aire en el espacio o volumen sin líquido.
Es importante acotar que en el descenso del punto A pequeñas burbujas de aire se filtran hacia el volumen sin líquido, contribuyendo a un mayor descenso de la presión en esa región y garantizando que la presión en B se mantenga constante.
De esta forma, observamos que mientras el líquido este por encima del punto B la presión en este permanecerá invariante y dado que la columna de líquido de altura H entre B y D es la misma, no habrá cambios en la velocidad de salida del líquido a través del orificio manteniendo además su dependencia directa con la altura, permaneciendo vigente lo establecido por Torricelli en su ley.
A continuación les comparto dos videos realizados en casa con materiales disponibles, donde les ilustro la ley de Torricelli y el principio de Mariotte.
Referencias
- Física para Ciencias e Ingeniería. Fishbane, Gasiorowicz, Thornton. Volumen I. Prentice Hall.
- Física para la Ciencia y la Tecnología. Tipler Mosca. Volumen 1: Mecánica. Oscilaciones y ondas. Termodinámica. 5a edición. Editorial Reverté.
- Física para Ciencias e Ingeniería. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner. 5a edición. Tomo I. McGraw-Hill.
- Física Universitaria. Sears Zemansky, Young Freedman. 9na edición. Volumen 1. Addison Wesley Longman.
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