La epifanía de Hamilton y los cuaterniones

Un día como hoy, 16 de octubre, posiblemente por la tarde, del año 1843 el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) paseaba plácidamente con su esposa Helen Marie Bayly, por el puente de Brougham (actualmente puente Broom), que cruza el Canal de Dublin, en ese momento Hamilton tuvo una epifanía, en ella pudo entender con exactitud un problema que lo tenía muy intranquilo desde hacía bastante tiempo, aquella revelación le dio la respuesta a la estructura de los custerniones. Tal fue la excitación de Hamilton que tomó su navaja y en una piedra del puente grabo la siguiente inscripción.

$\bf{i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

Actualmente dicha inscripción no se conserva, sin embargo, la Real Academia de Irlanda colocó una placa en el puente como homenaje a Hamilton a el día de su epifanía la cual inició un nuevo capítulo a la historia de las matemáticas. [Nota: no confundir estos números con la notación de los vectores bases en coordenadas cartesianas $\bf{\hat{i},\hat{j}}$ y $\bf{\hat{k}}$ ].

Los cuaterniones son pocos conocidos, incluso para algunos graduados en ciencias básicas, pero sí podemos recordar lo que son los números complejos, he hecho varios post en los que explico lo que es un número complejo y entro en varios detalles de sus operaciones algebraicas y topológicas, al igual de videos donde resuelvo problemas (Ver referencias bibliográficas 3, 4 y 5 de la lista); los cuaterniones no son más que precisamente una extensión de estos números complejos.

Las tres cantidades, o números, $\bf{i,j}$ y $\bf{k}$ son la raíz cuadrada de $-1$ , es decir

$\bf{i=j=k = \sqrt{-1} }$

Definición de un cuaternión.

$q=t+u{\bf{v}}+v{\bf{v}}+w{\bf{v}}$

donde $t, u,v \ \textup{\textrm{y}}\ w\ \in \mathbb{R}$

Estas cantidades satisfacen todas las propiedades algebraicas de los números, a excepción de una, la ley conmutativa de la multiplicación, en efecto Hamilton encontró que

$\bf{i} \bf{j}=-\bf{j} \bf{i}=\bf{k}, \ \bf{j} \bf{k}=-\bf{k} \bf{j}=i, \ \bf{k} \bf{i}=-ik=\bf{j}$

lo que cosntituye una flagrante vilolación de la propiedad conmutativa.

Los cuaterniones, sin embargo, siguen cunpliendo con las propiedades conmutativas y asociativas de la suma, la asociativa de la multiplicación e incluso la distrinutiva de la multiplicación con respecto a la suma, a saber,

$\bf{a}+b=a\\ \\ .\quad a +\left ( b+c \right ) =\left ( a+b \right )+c\\ \\ .\quad a\left ( bc \right )=\left ( ab \right )c \\ \\ .\ a\left ( b+c \right ) = ab + ac\\ \\ .\ \left ( a+b \right )c =ab +ac$

Tambien los cuaterniones cumplen con la existencia del elemento identidad y neutro para la suma y la multiplicación, es decir

$\bf{a}+0=a, \quad 1a=a1=a$

Pero desde el punto de vista físico, ¿hay alguna eplicación? La estructura de los cuaterniones en principio prometía una aplicación a la geometría y a la física de nuestro mundo real, sin embargo una serie de consideraciones matemáticas ponen esto en duda, hay quienes piensan que haciendo modificaciones a la teoría de los cuterniones se podrían aplicar estos a los problemas de cuatro dimensiones, e incluso a la relatividad, pero hasta el momento, los cuaterniones siguen siendo una estructura netamente matemática.

Considerando la propiedad que tienen de los números complejos en la rotación de ejes, es decir, al multiplicar por $i$ hay una rotación de noventa grados en sentido positivo, se podría utilizar el cuaternión $\bf{i}$ de manera similar. De tal manera que podemos utilizar los aperadores cuaterniónicos $\bf{i}, j \ \textrm{y}\ k$ para hacer rotaciones de $180^{\circ} \ \textrm{o} \ \pi$ , son precisamente este tipo de propiedades las que se están utilizando actualmente en la robotica.

Bueno, con este termino este tema de los cuaterniones que me ha interesado bastante, en próximos post trataré de profundizar un poco más es este campo, principalmente desde el punto de vista fisico-matemático.

Referencias bibliográficas

Joaquín O.C. Tales of a wender (Cuentos de un viajero). Bromm Bridge. Dublin. (2016). Fuente
Penrose Roger. Camino a la realidad Debate. México. 2006, pág. 293-299.
Núñez R. El número complejo - Una explicación sencilla. Post en Hive, Fuente
Núñez R. Números complejos. Definiciones. Post en Hive, Fuente
Núñez R. Propiedades algebraicas de los números complejos. Post en Hive, Fuente
William Rowan Hamilton. Wikipedia encyclopedia libre, 2022 [16 de octubre de 2022] Disponible en Fuente.
Cuaternión. Wikipedia encyclopedia libre, 2021 [16 de octubre de 2022] Disponible en Fuente.
Kamlofsky J. y Bergamini M.Los cuaterniones en la robótica - Universidad Abierta Interamericana Av. Montes de Oca 725 – Buenos Aires – Argentina.

Fuente de las imágenes

Placa conmemorativa de los cuaterniones de Hamilton. Fuente
Puente Broom (antiguo Brougham). Fuente
Brazo robótico girando. Fuente

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stemsocial (63) 2 years ago

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