Topología del plano complejo

El presente artículo es una actualización que mejora desde el punto de vista didactico la publicación anterior llamada Conjunto de puntos en el plano complejo, me he ocupado en hacerle esta mejora debido a la serie de preguntas, dudas y confusiones que tuvieron algunos estudiantes que consultaron dicho artículo en la plataforma hive-blog, la cual uso para hacer mis clases.

He incluido otros nombres con los que se conocen algunas de las definiciones topológicas y geométricas dadas en el post anterior.

Definiciones fundamentales

1. Vecindadades o entornos

Una vecindad o entorno $\varepsilon$ , también llamada bola abierta o disco abierto, de un número complejo $z_{0}$ , consiste en todos los puntos $z$ que se encuentran dentro del círculo, pero no en la circunferencia del mismo, el círculo tiene centro en $z_{0}$ y radio $\varepsilon > 0$ , y lo denotaremos como

$B_{\varepsilon }\left ( z_{0} \right )=\left \{ z: \left | z-z_{0} \right |< \varepsilon \right \} \qquad \left ( 1 \right )$

Una vecindad o entorno cerrado $\varepsilon$ de $z_{0}$ se denota mediante la siguiente expresión

$\overline{B}_{\varepsilon }\left ( z_{0} \right )=\left \{ z: \left | z-z_{0} \right |\leq \varepsilon \right \} \qquad \left ( 2 \right )$

Finalmente, una vecindad o entorno reducido $\varepsilon$ de $z_{0}$ , (también llamada bola perforada, disco perforado, entorno punteado o vecindad borrda ), es aquella vecindad que no toma en cuenta precisamente a $z_{0}$ , y se expresa como

$B_{\varepsilon } \left ( z_{0} \right )\setminus \left \{ z_{0} \right \}=\left \{ z: 0< \left | z-z_{0} \right |< \varepsilon \right \} \qquad \left ( 3 \right )$

Ejemplo.

Representar gráficamente las siguientes vecindades o entornos.

$1. \qquad B_1 \left ( 0 \right )=\left \{ z: \left | z \right |< 1 \right \}$

$2. \qquad \overline{B}_{\frac{7}{8} } \left ( -1-\sqrt{2}i \right )=\left \{ z: \left | z-\left (-1-\sqrt{2}i \right )\right |\leq \frac{7}{8} \right \}$

$3. \qquad \overline{B}_{\frac{1}{2} } \left ( 2+\sqrt{3}i \right )\setminus \left \{ 2+\sqrt{3}i \right \}=\left \{ z: 0< \left | z-\left (2+\sqrt{3}i \right ) \right | \leq \frac{1}{2} \right \}$

Solución

2. Clasificación de puntos

2.1 Punto interior

Un punto $z_{0}$ se dice que es un punto interior de un conjunto $S\subset \mathbb{C}$ cuando existe una vecindad $\varepsilon$ de $z_{0}$ que contiene solo puntos de $S$ . Se denota de la siguiente manera

$\textrm{Int}\ S=\left \{ z: z \ \textrm{es un punto interior de}\ S \right \}\$

2.2 Punto exterior

Un punto se dice punto exterior de $S$ cuando existe una vecindad de este que no contiene puntos de $S$ . Se denota de la siguiente manera

$\textrm{Ext}\ S=\left \{ z: z \ \textrm{es un punto exterior de}\ S \right \}\$

2.3 Punto frontera

Un punto se dice punto frontera cuando no es ni interior ni exterior. Un punto frontera es por lo tanto, un punto en el cual todas las vecindades contienen al menos un punto en $S$ y al menos un punto que no pertenece a $S$ . Se denota de la siguiente manera

$\partial S=\left \{ z: z \ \textrm{es un punto frontera de}\ S \right \}\$

2.4 Frontera de $S$

Se denomina frontera de $S$ a la totalidad de todos los puntos frontera.

Ejemplo

De los ejemplos anteriores de las vecindades:

$1) \qquad S_{1}=B_{1}\left ( 0 \right )$

$2) \qquad S_{2}=\overline{B}_{\frac{7}{8}}\left ( -1-\sqrt{2}i \right )$

$3) \qquad S_{3}=B_{\frac{1}{2}}\left ( 2+\sqrt{3}i \right )\setminus \left ( 2+\sqrt{3}i \right )$

obtener de cada una los puntos a) interior, b) exterior y c) frontera

Solución

1 ) $a) \ \textrm{Int}\ S_{1}=B_{1}\left ( 0 \right )$ , $b) \ \textrm{Ext}\ S_{1}= \left \{ z:\left | z \right |> 1 \right \}$ , $c) \ \partial S_{1}= \left \{ z:\left | z \right |= 1 \right \}$ .

2 ) $a) \ \textrm{Int}\ S_{2}=B_{\frac{7}{8}}\left ( -1-\sqrt{2}i \right )$ , $b) \ \textrm{Ext}\ S_{2}= \left \{ z:\left | z -\left (-1-\sqrt{2}i \right )\right |> \frac{7}{8} \right \}$

$c) \ \partial S_{2}= \left \{ z:\left | z-\left (-1-\sqrt{2}i \right ) \right |= \frac{7}{8} \right \}$

3 ) $a) \ \textrm{Int}\ S_{3}=B_{\frac{1}{2}}\left ( 2+\sqrt{3}i \right )$ , $b) \ \textrm{Ext}\ S_{3}= \left \{ z:\left | z -\left (2+\sqrt{3}i \right )\right |> \frac{1}{2} \right \}$ ,

$c) \ \partial S_{3}= \left \{ z:\left | z-\left (2+\sqrt{3}i \right ) \right |= \frac{1}{2} \right \}\cup \left \{ 2+ \sqrt{3}i \right \}$

3. Tipos de conjuntos

3.1 Conjunto abierto

Un conjunto $S$ es abierto si para cada $z \in S, \ \exists\ \textrm{un} \ \varepsilon \ \textrm{tal que}$

$B_{\varepsilon }\left ( z \right )\subset S$

Es decir, $\textrm{Int}\ S = S$ , por lo tanto un conjunto abierto no contiene ningún punto frontera. Po ejemplo, el conjunto de puntos $z$ tales que $\left |z \right |< 1$ es un conjunto abierto.

3.2 Conjunto cerrado

Un conjunto $S$ es cerrado si contiene todos sus puntos frontera, esto es

$\partial S\subseteq S$

3.3 Cerradura de un conjunto $S$

La cerradura de un conjunto $S$ es el conjunto cerrado que consiste de todos los puntos en $S$ junto con su freotera. En otras palabras

$\overline{S} = S\cup \partial S$

Sobre la base de la definición que hemos dado de clausura de un conjunto y de conjunto cerrado, podemos decir que la clausura $\overline{S}$ de un conjunto $S$ es el conjunto cerrado que consta de $S$ y de todos sus puntos frontera.

Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Para que un conjunto no sea abierto, ha de contener alguno de sus puntos frontera; y para no ser cerrado , debe haber algún punto frontera que no esté en él.

El disco punteado $0< \left | z \right |\leq 1$ no es ni abierto ni cerrado. No es abierto porque contiene puntos frontera y no es cerrado el cero es un punto frontera que no pertenece pertenece al disco. El conjunto $\mathbb{C}$ es abierto y cerrado al mismo tiempo dado que no tiene puntos frontera.

3.4 Conjunto conexo

Un conjunto abierto $S$ se dice conexo si cada par de puntos $z_{1}\ \textrm{y}\ z_{2}$ en él se pueden unir con una línea poligonal, la cual consiste en un número finito de segmentos de línea unidos de un extremo a otro, en el interior de $S$ . Ver animación.

Notamos por ejemplo que los conjuntos $\left | z \right |< 1 \ y \ 1< \left | z \right |< 2$ son conexos.

3.5 Dominio

Se llama dominio a todo conjunto no vacío y conexo. Toda vecindad o entorno es un dominio.

3.6 Región

Se denomina región a todo dominio junto con algunos, ninguno o todos los puntos frontera. En otras palabras, un conjunto cuyo interior es un dominio es llamado región.

3.6 Conujunto acotado

Un conjunto $S$ es acotado si $\exists \ \textrm{un}\ R> 0 \ \textrm{tal que}$

$S\subset B_{R}\left ( 0 \right )=\left \{ z\in \mathbb{C}: \left | z \right |< R \right \}$

Es decir, el conjunto es acotado si todo punto de $S$ está dentro de algún círculo $\left | z \right |=R$ ; en caso contrario el conjunto es no acotado. En este contexto los conjuntos $\left | z \right |< 1 \ \textrm{y}\ \left | z \right |\leq 1$ son acotados.

2.1 Punto de acumulación

Tomando en cuenta todas las definiciones anteriores, vamos ahora a definir lo que es un punto de acumulación. Un punto $z_{0}$ se dice que es un punto de acumulación o punto límite, de un conjunto $S$ , si cada vecindad reducida $\varepsilon$ de $z_{0}$ contiene puntos de $S$ . Ya que $\varepsilon$ puede ser cualquier número positivo, podemos decir que $S$ tiene infinitos puntos. Recordemos que $z_{0}$ puede pertenecer o no al conjunto $S$ . Si un punto de acumulación z0 no estuviera en S, sería un punto fronter de S, lo cual contradice el hecho de que un conjunto cerrado contiene todos los puntos frontera. Evidentemente, un punto $z_{0}$ no es punto de acumulación de un conjunto $S$ siempre que exista una vecindad punteada de $z_{0}$ que no contenga puntos de $S$ .

Por ejemplo, el origen es el único punto de acumulación de $z_{n}=\frac{i}{n},\quad n\in \mathbb{N}$ .

Con esto terminamos la teoría relacionada con el conjunto de puntos o la topología de los números complejos, espero haber cubierto algunas lagunas que habían quedado en el post anterior. Para el próximo artículo presentaré la solución de una serie de problemas por medio de videos que terminarán de fortalecer el dominio de este tema, el cual es muy poco estudiado en detalle.

Bibliografía

Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
Juan Carlos Ponce Campuzano. (2021). ANÁLISIS COMPLEJO. Una introducción visual e interactiva. Fuente.
Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003.
Volkovyski L., Lunts G., Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, Moscú, 1984.

Fuente de las imágenes

Todas las imágenes fueron hechas por mi usando el software PowerPoint.

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stemsocial (63) 2 years ago

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