Combinación lineal de vectores en 2D

^{Álgebra Lineal}

Vectores como segmentos de recta orientados

Para dar inicio a la solución de problemas matemáticos debemos estar sumergidos en el tema, buscar la terminología básica para tener la noción clara que podremos resolver lo planteado. Partiendo de esta premisa, debemos tener claro que un punto « · » es la mínima expresión visual (geométricamente hablando), por lo cual carece de dimensiones, pero puede situarse en el espacio y según el sistema de coordenadas 2D o 3D se puede representar en estos planos.

Posteriormente, el concepto de línea « ──── » se relaciona con la agrupación de un conjunto determinado de puntos en el espacio lo que configuraría su longitud y pueden tener forma recta o curva. Si sobre esta línea recta dibujamos 2 círculos « ○ » o puntos más grandes « ⚫ », separados cierta distancia, aparecerá el término de segmento de una recta « ─○─────○── » como el "trozo" de la recta limitado entre estos 2 puntos.

LLegamos al punto límite entre la Geometría Pura y la Geometría Analítica, pues nos vemos en la necesidad de introducir la representación gráfica en un sistema de coordenadas o plano de referencia cartesiano para visualizar al segmento de recta dirigido (srd) con proyecciones sobre los ejes de coordenadas que elijamos como sistema de referencia, pues bien este srd es lo que se conoce como un vector satisfaciendo las nociones de "segmento de recta dirigido", con sentido OA o AO, con una magnitud igual a la longitud del segmento.

Para analizar, estudiar y resolver problemas vectoriales es conveniente representarlos de forma "algebraica" y "geométrica" en el plano cartesiano, pero este tema ha sido ampliamente estudiado. Por los momentos me limitaré a desarrollar el punto de Combinación Lineal de vectores en 2D:

El escalamiento de cada vector en forma individual nos resulta en otro vector cuya magnitud (longitud) se ve afectada por la multiplicación de un escalar (número)

Hagamos un corto ejercicio para ir practicando con las combinaciones lineales e introducir el concepto de independencia y dependencia lineal de vectores:

Esto constituye un procedimiento muy sencillo y se trató de un escalamiento o multiplicación de un vector por un escalar. Se nota cómo el vector v es una combinación lineal del vector u al ver que sus componentes v_x y v_y son 4 veces las componentes del vector u.

También podemos deducir que estos vectores son linealmente dependientes, pues se ubican sobre la misma línea y puede escribirse en función del otro vector: u = ¼v.

Por otro lado, si deseamos encontrar o comprobar que un nuevo vector es el resultado de la combinación lineal de 2 o más vectores podemos proceder de la siguiente manera:

Usando los formatos programados en Geogebra, pude simular la proyección geométrica de esta combinación lineal de vectores y se corrobora que existen escalares (½ y −2) que satisfacen la igualdad de vectores, por lo que w = ½u −2v es combinación lineal de (1, 3) y (−3/2, 1).

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias: