Resolviendo la función inversa exponencial-logaritmo

[ycam]

Entre las funciones lineales y exponenciales, me quedo con las primeras, ya que es muy sencillo determinar las variables que la componen. Por lo general, resulta una línea recta que puede representar una situación real como la distancia recorrida por un auto en un tiempo determinado, pero no le huyo a las expresiones que denotan el crecimiento exponencial de la población o el número de bacterias que crecen en un cultivo biológico y que se pueden representar por medio de una función exponencial.

mi tarea pendiente: h(X) = 10^{2X − 3}
El caso más simple es la representación gráfica de f(X) = 2^X, una función exponencial donde la variable X está ocupando el sitio del exponente y si evaluamos entre −8 y +8, obtendremos la siguiente gráfica. Note que con mi graficador, la tendencia hacia el valor cero (0) está cerca de X = 960, ya que la función da como resultado ≈ 10⁻²⁸⁰

La función inversa ya no se resuelve como en mi publicación más reciente, sino que recurrimos a la función logaritmo que es la inversa de la función exponencial. Ponga atención al siguiente procedimiento:

f(X) = 2^X
Y = f(X) = 2^X
Y = 2^X
reemplazamos X por Y:
X = g(Y) = 2^Y
X = 2^Y
y resolvemos la función g(Y) para el parámetro Y usando la definición del logaritmo de base 2:
log₂(X) = log₂(2^Y)
log₂(X) = Y

de esta manera la función inversa de f(X) = 2^X se representa por:

f^-1(X) = log₂(X)
También podemos resolver si consideramos las propiedades del logaritmo neperiano (ln), por lo que obtendríamos la expresión: Y = ln(X)/ln(2) como la función inversa.

Volviendo al problema inicial: Y = h(X) = 10^{2X − 3}, podemos calcular los pares ordenados y graficar.

Observación: la escala del eje Y es muy amplia y no permite visualizar los cambios al sustituir X en la función, ya que es en base a 10 (10^{2X − 3}), así que procedo a presentar la gráfica en escala semilogarítmica, es decir el eje Y en escala log (log₁₀)

Para pequeños incrementos de la variable X, la función exponencial cambia drásticamente en el eje Y. Lo interesante es que ahora en esta escala sí podemos ver la variación de la función.

El procedimiento para determinar la función inversa es prácticamente lo mismo que he realizado en los pasos anteriores, cambiar Y por X y operar.

h(X) = 10^2X−3
Y = h(X) = 10^2X−3
Y = 10^2X−3

reemplazamos X por Y:
X = g(Y) = 10^2Y−3
X = 10^2Y−3
Resolvemos la función g(Y) para el parámetro Y usando la definición del logaritmo de base 10:
log₁₀(X) = log(X) = log(10^2Y−3)
log(X) = 2Y−3 (log(X)+3)/2 = Y

de esta manera la función inversa de h(X) = 10^2Y−3 se representa por:

f^-1(X) = (log(X)+3)/2
En esta oportunidad no pude representar las funciones inversas en la misma gráfica, lo cual sería ideal observar la simetría entre ambas funciones, luego me encargaré de presentar un ejemplo que nos ayude a analizar las funciones inversas exponencial-logaritmo.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Publicación: Hallar la inversa de una función exponencial
• Wikipedia: Función inversa

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