Derivada de una función y el análisis de tendencias al Límite

[ycam]

Derivada de una función

^{Análisis de tendencias al límite}

En ningún modo pretendo exponer un artículo basado en un tema super conocido y estudiado en los cursos de Cálculo universitario, pero retomo 2 ejemplos para demostrar que las reglas conocidas de la derivación no siempre pueden ser usadas indiscriminadamente en el cálculo diferencial, límites e integración, ya que algunas funciones requieren un trato especial para encontrar las soluciones reales. En este artículo veremos las gráficas de 2 funciones, el cálculo diferencial y su relación gráfica con la función original.

f(X) = |X|
g(X) = 2X + 3
Comenzaré diciendo que la función valor absoluto de x, tiene un Dominio: (−∞,∞),{x|x∈ℝ} muy amplio para valores positivos y negativos, además está definida para x = 0, donde el Rango: [0,∞),{y|y≥0} presenta un extremo cerrado, por lo que de antemano podemos afirmar que no es derivable en ese punto único, es decir que no se puede calcular la recta tangente, porque está acotado en el valor de x = 0, no más allá!

Comenzaremos a tratar la función g(x) = 2x + 3, sabiendo que el Dominio: (-∞,∞),{x|x∈ℝ}, o sea que x puede adquirir cualquier valor (∀ X) y el Rango: (−∞,∞),{y|y∈R} guarda estrecha relación con un intervalo cerrado, por lo que ¿sería una función derivable?, veamos la definición de la Derivada y Límite de una función:

Note que no existe conflicto con las reglas de las derivadas, por cuanto la derivada de 2x es 2x^1-1 = 2x⁰ = 2·1 = 2, mientras que la derivada de la constante 3 es cero, así que g´(x) = 2. Como podemos extrapolar en la siguiente gráfica, podemos ver la tendencia por la izquierda y por la derecha de cualquier valor de x, por lo que es correcto afirmar que existe un "límite de la función", siempre y cuando se tienda a un mismo valor, los invito a ver mi anterior publicación "El LÍMITE de una función como análisis de tendencias"

Conclusión: la derivada de la función lineal g(x) = 2x+3 es igual a la pendiente de la recta, la cual dio un valor de g'(x) = 2

Encontrar la derivada de f(x) = |x|

Si seguimos el procedimiento dictado por las reglas de la derivación, nos encontraríamos en la siguiente situación:

La función valor absoluto para todo x, resulta que para un número negativo (x<0) la imagen es y = -x, también y = 0 para x=0, pero resulta ser que y = x para valores positivos de x. Esto lo podemos corroborar al observar la siguiente gráfica:

---

Intervalo abierto

, corresponde infinitos valores cercanos al punto de evaluación y podemos graficar una recta tangente, por lo tanto podemos derivar la función mediante la tendencia hacia un borde o límite de la función. Esto se aplica para x<0 y x>0, por lo que el cálculo presentado arriba es válido para estas 2 situaciones, no queda claro para el caso de x=0 porque se trata de un punto único, ni siquiera es un intervalo, por lo que las reglas de la derivación no son aplicables en este caso particular.

El análisis de "las tendencias laterales" es un requisito indispensable para verificar si existe el límite de una función, como en este caso, se tiende a cometer el error de derivar la función valor absoluto de x = 0, resultando f´(0) = 0, cuando en realidad el Límite de esa función no existe para x = 0, un solo valor, pues se requiere analizar la tendencia en un entorno cuando la función "tiende a". Esta parte de explicar los procedimientos matemáticos de forma "no automática" nos sirve para evitar cometer los errores de eliminar factores de una igualdad o de encontrar derivadas o integrales que no son reales, simplemente porque NO EXISTEN.

Atención al dato de @ycam

, ya se los había comentado en mi publicación anterior, que el criterio de las derivadas para determinar la pendiente de una curva no era suficiente para estudiar una función, igual sucede con el ejemplo mostrado aquí, donde las reglas de las derivadas no se pueden aplicar a diestra y siniestra sin analizar la tendencia de la función en los límites laterales y verificar que existe el límite, que implica que existe la derivada y que me "autoriza" a utilizar ampliamente las reglas de las derivadas.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Wikipedia: Intervalos
• Vídeo Youtube: Derivada de una función usando la definición
• Wikipedia: Derivada
• Imagen CC0: Imagen de la portada

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