La palabra continuidad está directamente vinculada con la idea cotidiana de procesos que continúan; por otro lado, su contrario, la discontinuidad, se relaciona con procesos interrumpidos.
En matemática tiene esa misma connotación, solo que, los procesos en cuestión están descritos algorítmicamente continuos en el caso de la continuidad, y por la ruptura de ese algoritmo, en el caso de la discontinuidad.
Para ejemplificar estas ideas desde el punto de vista formal, observemos las gráficas siguientes:
Nota: Esta primera gráfica fue tomada de mi post sobre Límites Unilaterales
Observemos en ella, que existe un cambio del algoritmo en su definición, que de -x +3 pasa a -2 cuando la variable independiente x se acerca a 3 tanto por la derecha como por la izquierda, pero que esto no genera una ruptura por cuanto que la función está definida en x=3, y que, en este caso es -2 su imagen, es decir, el punto (3,-2) existe en su gráfico; por otro lado, se observa que el límite de f(x) cuando x tiende a 3 existe y es -2 ¿por qué?.
Definitivamente, no hay ruptura en esta gráfica, y así consideramos que es continua en x=3.
Observemos esta otra gráfica y busquemos la diferencia entre ella y la anterior.
¿La vieron?
La segunda gráfica difiere de la anterior en que el punto (3,-2) no pertenece al gráfico, es decir, no existe en la gráfica de la función f y consecuentemente genera una interrupción en el gráfico, lo cual evidencia una ruptura en la gráfica en el punto (3, -2) y por lo tanto la función es discontinua en x=2.
Veamos esta otra gráfica tomada del mismo post sobre límites unilaterales
Nos preguntamos
¿Existe f(2) ?
¿Existe el límite de esta función cuando x tiende 2?
¿Hay ruptura cuando x=2?
Pues sí, hay ruptura en x=2, obsérvese que a pesar de existir f(2)=19, hay evidencia gráfica de que existe ruptura en x=2.
¿Cómo se podría explicar esto?
La explicación en este caso tiene que ver los límites unilaterales.
Estos límites son:
Vemos que estos límites existen, pero son diferentes, entonces el límite de esta función cuando x tiende a 2 no existe, lo cual genera una ruptura en x=2 a pesar de existir el punto (2,19) en la gráfica de f.
Finalmente, veamos esta otra gráfica
Se observa una ruptura en la gráfica de la función f cuando x=1, vemos que existe en el gráfico de f el punto (1,2) y que los límites unilaterales cuando x tienede a 1 existen y son iguales a 1.
Basándonos en estas observaciones nos preguntamos lo siguiente:
¿Cómo determinar formalmente que una función es continua o no en un punto?
Para ir introduciendonos en la formalidad de este concepto vamos a analizar en las gráficas anteriores cuáles son las condiciones que debe cumplir una función f(x) para se continua en un punto donde x=a.
En la primera gráfica vimos que el cambio de algoritmo de la función antes y después de x=3 no generó ruptura en la función; nos preguntamos ¿por qué?
En la segunda gráfica se observa que el límite de f cuando x tiende a 3 existe es igual a -2 pero, determinamos que había ruptura en x=2 ya que el punto (3,-2) no existe en la gráfica de f(x); esto es: f(3) no existe.
En la tercera gráfica f(2) existe pero se observa ruptura debido a que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 no existe?
En la cuarta gráfica se observó ruptura en x=1 a pesar de f(1) existe y también existe el límite de la función f cuando x tiende a 1, este es igual a 1.
¿Qué debería suceder para eliminar esa ruptura?
¿Cuál de estas tres gráficas representa una función continua?
Todos coincidiremos en que la función f(x) representada en la primera gráfica es continua en x=3 .
¿Qué condiciones cumple f para ser continua en x=3?
Usando el sentido común, esas condiciones deben ser las siguientes:
(i) f(3) = -2 existe (condición que no se cumple la segunda gráfica)
(ii) El límite de f(x) cuando x tiende a 3 existe es igual a -2 (condición que no se cumple en la tercera gráfica)
(iii) El límite de f(x) cuando x tienede a 3 es -2, este a su vez es igual a f(3)=-2 (condición que no se cumple en la cuarta gráfica, ya que, el límite de f cuando x tiende a 1 es 1, y, f(1)=2, estos valores son diferentes)
Luego de este análisis sobre estas cuatro gráficas vamos a formalizar la definición de función continua en un punto.
Definición
Se dice que una función f es continua en un punto x=a de su dominio, si se cumplen estas tres condiciones:
(i) f(a) existe.
(ii) Límite de f cuando x tiende a a también existe.
(iii) Los dos valores anteriores son iguales.
A continuación dejo un ejercicio propuesto vara verificar las condiciones de continuidad para la función f en los puntos x= -1 y x=1
Ficha Técnica
Para la composición de la imagen de entrada se tomaron imágenes de Pixabay.
Para la construccion de gráficas matemáticas.
https://www.geogebra.org/m/dbdugjrx
https://es.symbolab.com/solver/one-sided-limit-calculator/%5Clim_%7Bx%5Cto2-%7D%5Cleft(2x%5E%7B3%7D-3x%20%2B12%5Cright)?or=input
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