Recordemos que la función afín se define como función polinómica de grado 1, esto es: f(x)= ax1 +b donde los coeficientes a y b pueden ser cualquier número real; esto significa que nuestra función queda simplificada a la siguiente forma: f(x)=ax+b, siendo su dominio .gif)
(el conjunto de los números reales).
Si a=0 nuestra función se convierte en una función constante f(x)=b, y si a=1, nuestra función se simplifica a f(x)= x+b, es decir, una función identidad traslada verticalmente dependiendo del valor de b.
Es importante destacar que la gráfica de la función afín f(x)=ax +b es una recta que intercepta al eje de las ordenadas en el punto (0,b) del sistema de coordenadas cartesianas y cuya pendiente es m=a; lo cual está determinado por su ecuación punto pendiente y=mx+b Ver
Veamos la gráfica de f(x)=ax+b
Recordemos por la notación funcional que y=f(x) y que, además, m=a
Recordemos de acuerdo a La interpretación Geométrica de la Derivada que la derivada de una función en un punto dado viene siendo la pendiente de la recta tangente al gráfico de esa función en ese punto.
Esto es:
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De lo anterior se deduce que la derivada de la función afín es "m" en cualquier punto x0 en el dominio de esta función.
Vamos a demostrarlo:
Recordemos que:
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De acuerdo a la definición de nuestra función f(x)=ax+b, para todo x en su dominio, se concluye que:
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Restando estos dos términos para resolver el numerador del cálculo de mtan(x0), se tiene:
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Evaluando el límite nos queda:
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De esta manera validamos lo que se dijo al comienzo y afirmamos que, en general, la derivada de una función afín y=ax+b es a.
Veamos algunos ejemplos
Si:
f(x)= 5x+3 entonces f´(x)=5
g(z)= -12x+4 entonces g´(z)=-12
h(w)=4+9w, entonces h´(w)=9
t(x)=2x, entonces t´(x)=2
Son casos casos particulares de la función afín
La función identidad I(x)= x, cuya derivada es 1.
La función Constante C(x)=b, cuya derivada es 0.
Créditos
Usamos el Editor de Ecuaciones LaTeX para editar las ecuaciones.
Paint para editar la gráfica.
El contenido es totalmente original.
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