Ich habe mich diese Woche ein wenig mit Münzen beschäftigt, nicht weil ich dieses Hobby habe, sondern in Vorbereitung auf eine Unterrichtsstunde.
Ich suchte nach einer praktischen Anwendung für die Volumenberechnung eines Zylinders. Dabei musste ich an die Geschichte von Archimedes und die Krone denken. Falls ihr diese nicht kennt, hier nochmal ein kleiner Abriss:
Ein König wollte von Archimedes wissen, ob seine Krone aus echtem Gold ist. Um die Echtheit überprüfen zu können, bräuchte Archimedes allerdings das Volumen der Krone (Da Masse durch Volumen die Dichte ergibt, braucht Archimedes als nur die Dichte von Gold zu kennen, welche 19,33 g/cm3 ist.) Bei einem Bad stellte er fest, dass er genau so viel Wasser verdrängt wie sein Körpervolumen und zack das Verdrängungsgesetzt wurde entdeckt. Diesen Geistesblitz soll er mit "Heureka" gefeiert haben.
Als ich also über das Verdrängungsgesetz grübelte und nach einer Anwendung für Zylinder suchte, musste ich an die Echtheit der Krone denken. Und dachte mir, das könnte man ja mit Münzen machen. Da ich vermutlich kein gutes Verdrängungsequipment finden würde und eh wollte, dass die Schüler das Volumen ausrechnen, habe ich mich für Abmessen und Wiegen entschieden.
I've been working a bit with coins this week, not because I have this hobby, but in preparation for a lesson.
I was looking for a practical application for calculating the volume of a cylinder. This made me think of the story of Archimedes and the crown. If you don't know it, here's a brief summary:
A king wanted to know from Archimedes whether his crown was made of real gold. However, in order to check the authenticity, Archimedes needed to know the volume of the crown (since mass divided by volume gives the density, Archimedes only needed to know the density of gold, which was 19.33 g/cm3). While taking a bath, he realized that he was displacing just as much water as the volume of his body and the law of displacement was discovered. He is said to have celebrated this flash of inspiration with "Eureka".
So when I was pondering the law of displacement and looking for an application for cylinders, I had to think about the authenticity of the crown. And thought to myself, you could do that with coins. Since I probably wouldn't find any good displacement equipment and wanted the students to calculate the volume anyway, I decided to measure and weigh.
Eine kleine 1/20 Silberunze hatte ich noch Zuhause rumliegen und eigentlich auch noch eine Kupfermünze. Aber diese habe ich in den Untiefen meiner Umzugskartons nicht gefunden. LOOL
Also suchte ich nach den Abmessungen und dem Gewicht der Münze und nach der Dichte von Silber, welche btw. 10,49 g/cm3 ist. Als ich dann das Volumen berechnet habe und die Masse durch das Volumen teilte, kam ich jedes Mal auf einen Wert von ca. 7,5 g/cm3. Das ist schon eine arge Abweichung. Im Internet kursieren auch leicht unterschiedliche Werte. Aber diese große Abweichung fand ich im ersten Moment doch recht erstaunlich und irritierend. Handelt sich sich hierbei etwa um eine Riesen 1/20-Silber-Unzen-Verschwörung?
Ich für meinen Teil habe mir eine plausibel wirkende Erklärung überlegt. Aber was denkt ihr? Vielleicht gibt es ja auch Experten unter euch.
Meine Schüler habe ich dann noch damit beauftrag den Spaß auch für Euro-Münzen und einen Schokotaler zu machen. Und eine Gruppe kam bei der 1/20 Unze sogar auf einen Wert von 10 g/cm3. Ob sie auch "Heureka" riefen?
I still had a small 1/20 silver ounce lying around at home and actually also a copper coin. But I couldn't find it in the depths of my moving boxes. LOOL
So I searched for the dimensions and weight of the coin and for the density of silver, which is 10.49 g/cm3. When I then calculated the volume and divided the mass by the volume, I came up with a value of approx. 7.5 g/cm3 each time. There are also slightly different values circulating on the Internet. But at first I found this large deviation quite astonishing and irritating. Is this a giant 1/20 silver ounce conspiracy?
For my part, I have come up with a plausible explanation. But what do you think? Perhaps there are experts among you.
I then asked my students to do the same for euro coins and a chocolate taler. And one group even came up with a value of 10 g/cm3 for the 1/20 ounce. I wonder. Did they also shout "Eureka"?
Bester Mathelehrer!!!!!!!!!!!!!!!! und nix !LOOL
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😘 hätte ich einen Lehrer wie dich gehabt, würde ich das jetzt vielleicht verstehen
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Mhh eine 1/20 Unze ist ja normal reines Silber, aber steht da 999, 600, o.Ä. für die Feinheit drauf?
Ja die Feinheiten ist .999. Also Feinsilber !LOOL
Eine 1/20 oz Münze ist ja ein sehr kleines Teil. Da kommt es leicht mal zu Messfehlern, die dann beim Hochrechnen multipliziert werden. Was ist denn das für eine Münze? Was vertrauenswürdiges? Eigentlich kennst du ja alle Faktoren - größe, Gewicht, Material - da kann ja eigentlich nix schiefgehen. Bei der Krone ist das ja was anderes, so ein Ding kann man nicht ausmessen. Deshalb die Volumenfeststellung. Und die Legierung war ja auch nicht verbrieft.
Bei Münzen mißt man einfach nach und wiegt nach. Wenn da .999 draufsteht, ist das Ergebnis schon klar. Außer sie ist falsch - deshalb macht mans ja.
Natürlich gibts heute auch ausgefuchstere Methoden, aber die hatte Methusalix damals noch nicht auf dem Schirm... :)
Also die Durchmesserangaben im Internet schwanken zwischen 0,15 cm und 0,162 cm. Die Dicke wird immer 0,1 cm angegeben. Das Gewicht liegt bei 1,555g.
Rechnen muss man also, wenn ich jetzt mal den Median Radius nehme.
1,555g/(0,8^2π0,1cm3)
Dabei kommt ein Wert raus der grob 30% von der Dichte von Silber abweicht.
Ich hab ja geschrieben, dass schon eine Idee habe woran das liegt. Und die geht auch in eine ähnliche Richtung wie deine Erklärung.
Beim Rechnen teilt man ja durch recht kleine Zahlen. Macht man da nur kleine Rundungsfehler kommt es numerisch zu großen Fehlern. Dass das Gewicht falsch ist, ist a unwahrscheinlich, da es 1/20 einer ganzen Münze ist und b macht der Zähler nicht so große numerische Fehler. (Hab auch verschiedene Rechner probiert, was Maschinengenauigkeitsfehler eher unwahrscheinlich macht.) D.h. der Fehler entsteht beim Teilen durch kleine Zahlen, die gerundet sind. Also im Nenner der Rechnung, welcher ja das Volumen der Münze ist. Bei größeren Münzen bin ich auch nicht auf das Problem gestoßen.
Geht man jetzt von der These aus, dass das Volumen falsch ist, könnte es daran liegen, dass selbst die Händler bzw. Hersteller runden und sicher werden auch der Rand und die nicht ebene Ober- und Unterseite die Messung ungenau machen. Sprich Wiegen und Messen führt wahrscheinlich nicht zum Ziel.
Man könnte aber mit einem Wasserverdrängungsexperiment ähnliches wie bei der Krone das Volumen genauer bestimmen. Wenn man einen Behälter mit destillierten Wasser auf einen Waage stellt und die Waage dann auf 0 stellt und anschließend die Münze ins Wasser packt, wäre das Gewicht die das Volumen der Münze, da Wasser ein Dichte von 1 hat.
Fände es spannend, ob man so deutlich näher an die Dichte von Silber kommt. Die Schule hat aber leider aktuell keine funktionierenden Feinwaagen. Und es ging in der Stunde auch nicht primär um Dichte, sondern um Volumenberechnung !LOOL
Finde es aber dennoch krass, dass man scheinbar selbst mit offiziellen Werten nicht auf die Dichte kommt.
Das sind alles derartig kleine Mengen, das man wohl schnell an Grenzen stößt. Wie zB. der unterschied zwischen einer glatten und einer geprägten Münze - wieviel Wasser wird das wohl sein? Das ist sicher nur schwer meßbar.
Man könnte natürlich einen Trick anwenden: zB 100 Münzen zusammen messen, oder besser noch mehr. Aber die muß man erstmal haben. :)
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