Ein mathematischer Beweis formuliert eine Behauptung, die dann bewiesen wird. Solche Beweisführungen kommen oft in einem Mathestudium vor. In diesem Beispiel soll ein Isomorphismus bewiesen werden.
Damit das ganze nicht so abstrakt und abschreckend wirkt, habe ich mit ComfyUI und SDXL eine schöne KI Asiatin generiert, die uns bei den Beweisen begleiten wird. Sie heißt "Xiaozan".
AI generated image with SDXL
Also, fangen wir an. Eine Funktion f ist ein Isomorphismus, wenn f bijektiv und homomorph ist. In diesem Beispiel wird ein Isomorphismus von den reellen Zahlen mit der Addition zu den positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation bewiesen anhand der e-Funktion.
Der Beweis folgt in zwei Schritten. Zunächst zeigt man dass die Funktion f bijektiv ist. Eine Funktion f ist bijektiv, wenn sie injektiv (Für alle x gibt es höchstens ein y mit f(x)=y) und surjektiv (Für alle y gibt es mindestens ein x mit f(x)=y) ist.
Dann zeigt man noch dass die Funktion f ein Homomorphismus (Verknüpfung zweier Operationen) ist. Konkret nutzt man die Definitionen und beweist diese Anhand unseres Beispiels mit Umformulierungen.
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