Conjunto de puntos en el plano complejo

Los teoremas fundamentales de las variables reales están bien establecidos y definidos por funciones que pertenecen a un intervalo abierto o cerrado. Las funciones de variables complejas están formuladas y definidas en un conjunto que pertenece al dominio de dos dimensiones o regiones cerradas.

El conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación

$\left | z-z_{0} \right | < \rho, \qquad \rho \in \mathbb{R}^{+} \qquad \left ( 1 \right )$

es llamado disco abierto o vecindad circular de $z_{0}$ . Este conjunto consiste de todos los puntos que están dentro del círculo de radio $\rho$ alrededor de $z_{0}$ . En particular, las soluciones del conjunto de inecuaciones

$\left |z-2 \right |< 3, \qquad \left | z+i \right |< \frac{1}{2}, \qquad \left | z \right |< 8$

son vecindades circulares de los respectivos puntos $2,\ -i \ \textrm{y} \ 0$ .

Llamaremos la vecindad de disco unitario abierto a la siguiente expresión

$\left | z \right |< 1 \qquad \left ( 2 \right )$

Un punto $z_{0}$ el cual está en un conjunto $S$ es llamado punto interior de $S$ si existe alguna vecindad circular de $z_{0}$ que está completamente contenida en $S$

Por ejemplo, si el conjunto $S$ es la mitad derecha del plano $\textup{\textrm{Re}}\ z > 0$ y $z=0.01$ , entonces $z_{0}$ es un punto interior de $S$ porque este conjunto contiene la vecindad $\left | z-z_{0} \right |< 0.01$ (Ver figura)

Si cualquier punto de $S$ es un punto interior de $S$ , decimos entonces que $S$ es un conjunto abierto. Cualquier disco abierto es un conjunto abierto.

Cada una de las siguientes inecuaciones también describen un conjunto abierto

$\textrm{a)}\ \rho _{1}< z-z_{0}< \rho _{2}\\ \\ .\quad \textrm{b)}\ \left | z-3 \right| > 2\\ \\ .\quad \textrm{c)}\ \textrm{Im}\ z> 0\\ \\ .\quad \textrm{d)}\ 1> \textrm{Re}\ z< 2$

Esbocemos estos conjuntos en las siguientes figuras

Podemos observar que la solución del conjunto T de la ecuación $\left | z-3 \right |\geq 2$ no es un conjunto abierto ya que no existen puntos sobre el círculo, $\left | z-3 \right |= 2$ es un ´punto interior de T. Note también que un intervalo abierto del eje real no es tampoco un conjunto abierto ya que este no contiene el disco abierto.

Tenemos $\omega_{1}, \omega_{2},\omega_{3},\cdots , \omega_{n+1}$ sea n+1 puntos en el plano. Para cada k=1, 2, 3, ..., n tenemos $l_{k}$ denotando el segmento de línea que une $\omega _{k}$ con $\omega _{k+1}$ . Entonces la línea de segmentos sucesivos $l _{1}, l _{2}, l _{3},\cdots l _{n}$ forman una cadena continua conocida como un camino poligonal que une a $\omega _{1}$ con $\omega _{n+1}$ .

Un conjunto abierto $S$ se dice que está conectado si cualquier par de puntos $z_{1}, \ z_{2}$ en $S$ puede ser unido por un camino poligonal que está totalmente en $S$ tal y como se puede observar en la figura a). Esto significa que $S$ consiste de una sola pieza. Cada uno de estos conjuntos están conectados (figuras a), b), c) y d)), todas ests gráficas representan conjuntos abiertos.

El conjunto que consiste de todos los puntos en el plano que no están en el círculo $\left | z \right | =1$ es un ejemplo de un conjunto abierto que no está conectado ciertamente, si $z_{1}$ es un punto dentro del círculo y $z_{2}$ es un punto fuera del círculo, entonces todo camino poligonal que une a $z_{1}$ con $z_{2}$ debe interceptar el círculo.

Un conjunto conectado abierto lo llamamos un dominio. Por lo tanto todos los conjuntos de las fihuras anteriores a), B9, c) y d) son dominios.

En el cálculo de funciones de una variable real simple un hecho útil y familiar es que, sobre un intervalo, la cancelación de una derivada indica que la función es identicamente cosntante. Ahora presentamos una extensión de este resultado para dos variables reales, lo cual sobresalta la importancia de la noción de dominio.

$\framebox[2.5cm][c]{Teorema 1}\\ \\ .\quad \textrm{Supongamos que}\ u\left ( x,y \right )\ \textrm{es una funci\'on real evaluada en el}\\ .\quad \textrm{dominio}\ \mathcal{D}. \ \textrm{Si la primera derivada de}\ u \ \textrm{satisface}\\ \\$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \qquad \left ( 3 \right )$

$\textup{en todos los puntos de } \mathcal{D}, \ \textrm{entonces} \ u\equiv ctte\ \textrm{en }\ \mathcal{D}.$

$\framebox[2cm][c]{Prueba}$

Observemos que la asunsión $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ implica que $u$ permanece constante a lo largo de cualquier línea segmentada horizontal contenida en $\mathcal{D}$ ; esto es, sobre cada segmento, $u$ es una función simple de una variable real, concretamente de $x$ , cuya derivada se cancela. Similarmente la asunsión $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ significa que $u$ es constante a lo largo de cualquier segmento de línea que pertenezca a $\mathcal{D}$ . Resaltando todo este hecho vemos que $u$ permanece incambiable a lo largo de cualquier camino poligonal en $\mathcal{D}$ que tiene todos los segmentos paralelos al eje de coordenadas. Ahora de la definición de conectividada sabemos que cualquier par de puntos en $\mathcal{D}$ pueden ser unidos por un mismo camino poligonal que está totalmente en $\mathcal{D}$ . El punto es que el camino puede tener algunos segmentos que nunca serán verticales u horizontales. Sin embargo, saliendo de las consideraciones topológicas, cualquiera de esos segmentos puede ser reemplazado por una cadena de pequeños segmentos horizontales y verticales, tal y como lo muestra la siguiente figura.

Para evitar los argumentos topológicos, una prueba alternativa para el teorema puede ser dado con el uxilio de la regla de la cadena. Lo que crucial para el teorema es la propiedad de conectividad del dominio, de hecho, el teorema no es del todo cierto si $\mathcal{D}$ es asumido solo para ser un conjunto abierto, ya que entonces por partes cosnstantes las funciones pueden sayisfacer la hipótesis.

Ejemplo 1.

Un valor real de la función $u\left ( x,y \right )$ satisface

$\frac{\partial u}{\partial x} =3 \ \textup{y} \ \frac{\partial u}{\partial y} =6$

En cualquier punto del disco abierto $\mathcal{D}=\left \{ z:\left | z \right |< 1 \right \}$ , muestra que $u\left ( x,y \right ) = 3x+6y+c, \quad c=ctte$ .

Solución.

Sea $v\left ( x,y \right )=3x+6y$ y concideremos la función $\omega \left ( x,y \right )=u\left ( x,y \right )-v\left ( x,y \right )$ , es decir

$\frac{\partial\omega }{\partial x} =3-3=0\\ \\ .\quad \frac{\partial\omega }{\partial y} =6-6=0$

En cada punto de $\mathcal{D}$ , ya que $\mathcal{D}$ es el dominio del teorema, afirmamos que $\omega \left ( x,y \right )$ es una constante en $\mathcal{D}$ , decimos que $\omega \left ( x,y \right )=ctte=c$ . Por lo tanto

$u\left ( x,y \right )=v\left ( x,y \right )+\omega \left ( x,y \right )\\ \\ .\quad u\left ( x,y \right )=v\left ( x,y \right )+c$

lo cual es lo pedido por la fórmula de $u$ .

Un punto $z_{0}$ es un punto límite de un conjunto $S$ si cualquier punto en la vecindad de $z_{0}$ contiene en ella un punto de $S$ y puntos que no pertenecen a $S$ . El conjunto de todos puntos frontera de $S$ se les llama límite o frontera de $S$ .

Las fronteras de los conjuntos esbozados en las figuras anteriores a), b) c) y d) son:

a) Los dos círculos $\left |z-z_{0} \right |=\rho_{1}$ y $\left |z-z_{0} \right |=\rho_{2}$ .

b) El círculo $\left |z-3 \right |=2$ .

c) Eleje real.

d)Las líneas $\textrm{Re}\ z=1$ y $\textrm{Re}\ z=2$ . Ya que cada punto del dominio $\mathcal{D}$ es un punto interior de $\mathcal{D}$ , de esto sigue que un dominio no puede contener cualquiera de sus puntos frontera.

Un conjunto se dice que es cerrado si este contiene todos los puntos frontera.

El conjunto descrito por la ecuación $0< \left | z \right |\leq 1$ no es un conjunto cerrado ya que este no contiene al punto cero.

El conjunto de puntos $z$ que satisfacen la ecuación

$\left |z-z_{0} \right |\leq \rho, \qquad \rho > 0$

es un conjunto cerrado ya que contiene su frontera $\left |z-z_{0} \right |= \rho$ . Por lo tanto llamaremos este conjunto un disco cerrado.

Un conjunto $S$ se dice que tiene frontera si existe un número real positivo $R$ , tal que $\left | z \right |< R$ para toda $z$ en $S$ . En otras palabras, $S$ es frontera si está contenido en alguna vecindad del origen.

Un conjunto ilimitado es uno que no es límite. De los conjuntos de las figuras anteriores, solo a) es límite.

Un conjunto que es cerrado y límite se dice que es compacto.

Una región es un dominio junto con algún, ninguno o todos estos puntos frontera. En particular, cualquier dominio es una región.

Bibliografía

Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003.
Volkovyski L., Lunts G., Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, Moscú, 1984.

Fuente de las imágenes

Todas las imágenes fueron hechas por mi usando el software PowerPoint.

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stemsocial (63) 2 years ago

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