Interpretación geométrica de un número complejo

Coordenadas cartesianas de un número complejo

Cada número complejo $z=x+iy\ \textup{o}\ \left ( x,y \right )$ lo podemos representar como un punto en el plano cartesiano cuyas coordenadas son x e y, de tal manera que z puede interpretarse como un vector que parte del origen hasta el punto (x,y), tal y como se muestra en la figura 1.

En este caso nos referimos al plano xy como el plano complejo o plano Argand, donde el eje x se llama eje real y el eje z lo llamaremos eje imaginario.

Por la definición de suma que vimos en las publicaciones anteriores (ver Fuente ) podemos entonces representar geométricamenta la suma y resta de dos números complejos, tal y como se muestra en la figura 2.

Como puede apreciarse en la gráfica de la figura 2, hemos sumado y restado números complejos tal y como se hace con los vectores en el plano, podemos usar el método del paralelogramo, del triángulo o incluso del polígono en caso que hayan más de dos vectores sumandose.

Módulo, magnitud o valor absoluto de un número complejo.

El módulo de un número complejo está definido de la siguiente manera:

$\left | z \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \qquad \left ( 1 \right )$

Entonces podemos decir que

$\left |z \right |^{2}=\left ( \mathbf{\textrm{Re}}\ z \right)^{2} + \left ( \mathbf{\textrm{Im}}\ z \right)^{2} \qquad \left ( 2 \right )$

Así pues

$\textrm{Re}\ z \leq \left | \textrm{Re}\ z \right | \leq \left | z \right |\qquad \left ( 3a \right )\\ \\ .\quad \textrm{Im}\ z \leq \left | \textrm{Im}\ z \right | \leq \left | z \right |\qquad \left ( 3b \right )$

Prueba de (3a)

$\textrm{Si}\ \textrm{Re}\ z = x \ \Longrightarrow\ \left | \textrm{Re}\ z \right | = x \\ \\ .\quad \textrm{Si}\ \textrm{Re}\ z = -x \ \Longrightarrow\ \left | \textrm{Re}\ z \right | = x \\ \\ \textrm{Por lo tanto}\\ .\qquad \qquad \qquad \textrm{Re}\ z \leq \left | \textrm{Re}\ z \right | \\ \\ \left | z \right |^{2}=\left (\textrm{Re}\ z \right )^{2}+ \left (\textrm{Im}\ z \right )^{2}\ \Longrightarrow \left | z \right |^{2} \geqslant \left (\textrm{Re}\ z \right )^{2} \\ \\ .\qquad \qquad \left | \textrm{Re}\ z \right | \leq \left | z \right |\\ \\ \textrm{Se cumple la igualdad si y solo si,}\ \textrm{Im}\ z =0.\\$

Por lo tanto

$\textrm{Re}\ z \leq \left | \textrm{Re}\ z \right | \leq \left | z \right |\qquad \textrm{Q.E.D}$

Prueba de (3b). Para hacer esta demostración se procede de igual forma que la parte anterior, lo único que hay que cambiar es $x \ \mathrm{por} \ \mathrm{y} \ \mathrm{Re}\ z \ \mathrm{por} \ \mathrm{Im}\ z$ .

El complejo conjugado.

$\textrm{Si}\quad z=x+iy \quad \textrm{el complejo conjugado de}\ z\ \textrm{se define como.}\$

$\bar{z}=x-iy \qquad \left ( 4 \right )$

Representación gráfica del complejo conjugado.

Propiedades del complejo conjugado.

$\mathrm{Sea}\ z_{1}=x_{1}+iy_{1}\ \mathrm{y}\ z_{2}=x_{2}+iy_{2},\ \mathrm{entonces}\\ \\$

$\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}} +\overline{z_{2}} \qquad \left ( 5 \right )$

Prueba.

$z_{1}+z_{2}=x_{1}+x_{2}+i\left (y_{1}+y_{2} \right)\\ \\ .\quad \overline{z_{1}+z_{2}}= x_{1}+x_{2}- i\left (y_{1}+y_{2} \right)\\ \\ .\quad \overline{z_{1}+z_{2}}= x_{1}-iy_{1}+x_{2}-iy_{2} \\ \\ .\quad \overline{z_{1}+z_{2}}= \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \qquad \mathrm{Q.E.D}$

De igual manera es verificable que

$\overline{z_{1}-z_{2}}=\overline{z_{1}} -\overline{z_{2}} \qquad \left ( 6 \right )$

$\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\ \overline{z_{2}}\qquad \left ( 7\right )$

Prueba.

$z_{1}z_{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i\left (y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}\right)\\ \\ \overline{z_{1}z_{2}}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-i\left (y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}\right) \qquad I \\ \\ \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}= \left(x_{1}-iy_{1}\right)\left(x_{2}-iy_{2}\right )\\ \\ \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}= x_{1}x_{2}-\left(-y_{1}\right)\left(-y_{2}\right)+i\left(-y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2} \right) \\ \\ \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}= x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-i\left (y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}\right) \qquad II\\ \\ .\qquad \qquad I = II\quad \textrm{Q.E.D}$

$\overline{\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}} \qquad \left ( 8\right )$

Prueba.

$\frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ i\left (y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2} \right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}, \quad z_{2}\neq 0\\ \\ \overline{\left (\frac{z_{1}}{z_{2}} \right )}=\frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}- i\left (y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2} \right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}, \quad z_{2}\neq 0\quad I$

$\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}=\frac{x_{1}-iy_{1}}{x_{2}-iy_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+\left (-y_{1} \right )\left (-y_{2} \right )+ i\left (-y_{1}x_{2}-x_{1}\left (-y_{2} \right ) \right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}, \quad z_{2}\neq 0 \\ \\ \\ .\quad \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}= \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i\left (-y_{1}x_{2} +x_{1}y_{2} \right )}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \\ \\ \\ .\quad \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}= \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-i\left (y_{1}x_{2} -x_{1}y_{2} \right )}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \qquad II$

$\textrm{I} =\textup{\textrm{II}}\qquad \textup{\textrm{Q.E.D}}$

$\textrm{Re}\ z=\frac{z+\bar{z}}{2};\quad \textrm{Im}\ z=\frac{z-\bar{z}}{2}\qquad \left ( 9 \right )\\ \\ .\qquad \qquad \qquad z\bar{z}=\left | z \right |^{2} \qquad \qquad \qquad \left ( 10 \right )\\ \\ .\qquad \qquad \left |z_{1}z_{2} \right |=\left | z_{1} \right | \left |z_{2} \right |\qquad \qquad \quad \left ( 11 \right )$

Prueba de (11).

$.\qquad\qquad \left | z_{1} z_{2}\right |=\sqrt{\left (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2} \right )^{2}+\left (y_{1}x_{2}+_{1}y_{2} \right )^{2}} \\ \\ \left | z_{1} z_{2}\right |= \sqrt{\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}+\left ( y_{1}y_{2} \right )^{2} -\cancel{2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}+\left (y_{1}x_{2}\right)^{2}+\left (x_{1}y_{2}\right)^{2}+\cancel{2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}} \\ \\ .\qquad\qquad \left | z_{1} z_{2}\right |= \sqrt{\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}+\left ( y_{1}y_{2} \right )^{2} +\left (y_{1}x_{2}\right)^{2}+\left (x_{1}y_{2}\right)^{2}} \qquad \textrm{I}$

$.\qquad \qquad \left| z_{1}\right| \left|z_{2}\right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\ \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \\ \\ .\qquad \qquad \left| z_{1}\right| \left|z_{2}\right|=\sqrt{\left (x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\left (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)} \\ \\ \left| z_{1}\right| \left|z_{2}\right|= \sqrt{\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}+\left ( y_{1}y_{2} \right )^{2} +\left (y_{1}x_{2}\right)^{2}+\left (x_{1}y_{2}\right)^{2}} \qquad \textrm{II}$

$\textrm{I}=\textrm{II}\qquad \textrm{Q.E.D}$

Continuaremos con estas propiedades y sus demostraciones o pruebas en la próxima publicación, también haré algunos videos donde se explicarán y resolverán algunos problemas relacionados con el tema.

Bibliografía

Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003.
Volkovyski L., Lunts G., Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, Moscú, 1984.

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stemsocial (63) 4 years ago

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