나는 중, 고등학교 때 수많은 인수분해 공식들을 암기했었다. 그 중에 기억에 남는 특별한 형태들을 한번 생각해 보자
여기서 조금 호기심이 많은 학생이라면 4차나 5차 같은 고차에서도 비슷한 형태의 인수분해 식이 성립하지 않을까란 생각을 할 것이다. 당연히 있다.
사실 이런 형태의 인수분해 공식을 뉴턴 항등식이라고 한다. Newton's identity, 위키피다아를 긁어와 보면 [사실 Albert Girard 가 먼저 발견하긴 했는데 ㅋㅋㅋ Newton-Girard Formulas 이라고 부르는 사람도 있지만 대부분 Newton's identities 라고 부른다]
예전에 대학 입시였나 수리논술이었나 한번 나왔던 주제로 알고 있는데 그 시장을 떠난지 오래되서 기억이 가물하다.
이를 더 잘 이해하기 위해 p_k 와 e_k 의 정의를 불러와 보자
p는 power sum 의 약자로 p_k 는 다음과 같이 정의된다.
e는 elementary symmetric polynomial 의 약자로
당연히 정의로부터 e_1=p_1 인 것을 확인 할 수 있다.
세번째 p_3 식은 a^3 과 관련된 식을 정확히 제공한다. 다만 p_2 의 경우 완전제곱식 형태를 돌려주기에 사실 저 식과 완전히 같은 형태는 아니다
즉
형태로 전개하면 얼추 맨 처음 식과 비슷한 형태로 정리된다. (3승 관련된 식은 완전히 같고 2승 관련된 항이 사실 문제였던 것이다.)
그렇다면 4승과 관련된 n=4 일때는 어떻게 전개가 될까?
이것을 정의에 대입해서 원하는 형태로 돌려보면
5차 이상의 고차도 비슷한 방법으로 공식을 이용해서 풀 수 있다.
4차 이상의 식은 너무나 복잡하게 보인다. 그래서 아마 교과과정에 빠지지 않았나 싶다.
한번 p를 기준으로 쓴 식을 봐볼까?
꼴보기가 싫군 ㅋㅋㅋㅋ
이런 형태의 식의 증명은 첫번째로 무작정 전개한후 A-B=0 으로 보이는 방법이 있다. 이는 각 k 마다 나누어서 모든 경우를 확인해야 함으로 바람직하지 못하다. 일반적인 증명방법으로 수학적 귀납법이나, generating function 을 이용하여 한다. 고교 과정에 맞추려면 아마 수학적 귀납법이면 족할 것으로 보인다.
ㅋㅋ 사실 중 고등학생 때나 열심히 인수분해 공식들을 외우지, 실제로 학계에 나가면 뭐 인수분해가 유용할 때도 있지만 인수분해 공식 같은거 그냥 컴퓨터에 넣어서 전개해서 보이는 방식으로 확인한다. 컴퓨터로 수식들 집어넣고 어떤 factor 로 묶어라 하면 다 해준다
대부분의 사람들은 컴퓨터의 등장으로 이런 단순 계산들로 부터 자유로워 졌지만... 아직도 나는 손으로 일일이 확인하고 있으니 ㅋㅋㅋㅋ
일단 컴퓨터를 잘 다루지 못하는 것이 가장 큰 것 같다. ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅠㅠ
으으... 중학교 경시 때의 악몽이 떠오르네요ㅠㅠ 저는 컴퓨터나 쓸렵니다ㅎㅎ
진짜 초,중,고교 수학경시에는 별의별 것들이 다 등장한것 같아요 ㅋㅋㅋ
그 때 공부했던 친구들이 그 지식들을 아직도 자유자재로 쓰면 장난 아닐것 같은데 ㅎㅎ
가끔 관련 카페에 올라오는 문제들만 봐도 신기한 것들이 아직도 많더라구요 ㅎㅎ
ㅎㅎ사람은 망각의 동물이니까 다 잊어먹는 건 어쩔수 없는 것 같아요
그렇죠 3차도 귀찮은 판국에 4차부턴 너무 지저분...
Thank you for sharing your experiences with getting up and running. Keep on working at it. Perseverance and hard work are the keys to success. @beoped
어릴 때 저걸 어떻게 다 풀었을까 신기하고, 지금은 어쩜 저걸 다 잊어버렸을까 신기하네요 ㅎㅎ
@beoped 님마저 적으시고 꼴보기 싫다고 하시다니 ㅋㅋㅋ