안녕하세요? ryanhan입니다!
오늘은 확률에 대하여 이야기해보려고 합니다.
여러분들은 확률 계산을 좋아하시나요? 저는 좋아합니다.
확률을 계산해보고 결과를 예측해보는 일은 재미있습니다.
(또, 투자에서도 중요한 것 같습니다)
그럼 확률에 대해서 이야기해보겠습니다.

#1 확률의 고전적 정의

여러분들은 확률의 정의를 어떻게 알고 계신가요?
확률의 고전적정의는 라플라스가 제안하였고, 다음과 같습니다.

예를 들어보면,
주사위를 굴려서 3이 나올 확률은
주사위를 굴려서 3이 나올 경우의 수를
주사위를 굴려서 나올 수 있는 모든 경우의 수로 나누어서 구할 수 있습니다 1/6 이죠!

혹시 이런 확률의 고전적 정의에 의문을 갖고 계셨던 분 있나요??
베르트랑은 이 고전적 정의에 문제가 있단 걸 느끼고
베르트랑의 역설로 불리는 문제를 제시하였습니다.

#2 베르트랑의 역설

베르트랑의 역설 문제는 다음과 같습니다.

원에 내접하는 정삼각형을 그리고, 원에서 임의의 현을 선택할 때
그 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은?
그림에서의 빨간색 현처럼 길이가 큰 것이 선택될 확률을 구하면 됩니다.
잠깐 생각해보세요!
어떤 방식으로 전체 경우의 수와, 사건의 경우의 수를 구할 수 있을 까요?

베르트랑은 세 가지 해법을 제시합니다.

#3 - 1 점 하나를 고정하고, 다른 점을 랜덤 선택

제목 없음.png
현을 이루는 두 점중 하나를 삼각형의 꼭짓점이라하고,
나머지 점을 임의로 선택하는 방법입니다.
정삼각형에 의해 원은 세 등분 되는데요,
그 중에서 가까운 두 부분에 나머지 점이 선택된다면, 그길이는 삼각형의 변보다 짧습니다.
그리고 먼 부분에 나머지 점이 선택된다면, 그 길이는 삼각형의 변보다 깁니다.
따라서 그 비율을 생각해봤을 때, 전체 경우의 수가 3이라면, 현이 길 경우가 1이므로

삼각형의 변보다 길이가 긴 현이 선택될 확률은 1/3입니다!

#3 - 2 원의 중심과 현사이의 거리를 생각하는 방법

두 번째 방법은,원의 중심과 현사이의 거리에 따라 분류하는 방법입니다.
이 때, 평행한 현들끼리만 경우의수를 세어도 문제가 없습니다.
이 경우에는 중심과 현 사이의 길이가 가장 작을 때는 그 길이가 0이고,
이 때 현의 길이가 가장 깁니다.
이 때부터 시작하여 삼각형의 변의 길이와 같은 길이의 현이 선택될 때까지가
우리가 구하고 싶은 경우의 수입니다.
기하학에서 원의 성질에 의하면, 원의 중심과 삼각형의 변까지의 거리는 반지름의 절반입니다.
따라서 전체 경우의 수가 0 ~ 반지름 이고,
사건의 경우의 수가 0~반지름의 절반 이므로

삼각형의 변보다 길이가 긴 현이 선택될 확률은 1/2 입니다!!

#3 - 3 현의 중점을 생각하는 방법.

원에서는 어떤 현의 중점만 주어지면, 그 현이 어떤 현인지 알 수 있습니다.
따라서, 원 내부에 임의로 현의 중점이 있을 수 있는 것을 전체 경우의 수라하면,
현의 중심이 내접삼각형의 내접원 안에 있는 것이 사건의 일어날 경우의 수입니다!
이 때는 원래의 원의 넓이에 비해, 내접삼각형의 내접원의 넓이가 1/4이므로

삼각형의 변보다 길이가 긴 현이 선택될 확률은 1/4 입니다!!

#4 결론

여러분은 세 가지 방법 중 어떤 것을 생각하셨나요??

세 가지 방법은 결과가 모두 달랐습니다.

하지만 세 가지 방법 모두 나름대로의 논리가 있습니다.

어떤 것은 맞고 어떤 것은 틀리다고 할 수 있을까요?

확률의 고전적 정의에서는 세가지 모두 맞는 것 처럼 보입니다.

어쩌면 우리는 확률의 정의부터 다시 배워야 할지도 모르겠습니다.

베르트랑의 역설, 흥미로우셨나요??

다음에도 재미있는 내용으로 포스팅해보겠습니다!

감사합니다. ryanhan이었습니다.

[수학] 베르트랑의 역설 - 확률의 고전적 정의에 대하여