Знаете ли вы, что...

...квадрат целого числа N — это сумма первых N нечетных чисел.

  1^2 = 1
  2^2 = 1+3
  3^2 = 1+3+5
  4^2 = 1+3+5+7
  5^2 = 1+3+5+7+9
  6^2 = 1+3+5+7+9+11
  7^2 = 1+3+5+7+9+11+13
  8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15
  9^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17
 10^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 
 и т.д. ...

Это красивое свойство квадрата легко объяснимо.

Пусть N — простое число, тогда квадрат следующего целого числа можно представить как (N+1)(N+1) или:

N^2 + (2N+1)

здесь N^2 — это квадрат предыдущего числа, а (2N+1) — следующее по порядку нечетное число.

Действительно, для N=1, кадрат следущего числа (или 2^2) будет равен 1^2 + (2+1) или 1+3

Для N=2, квадрат следующего (или 3^2) равен 2^2 + (4+1). Но, как было показано выше, 2^2 = 1+3, следовательно:

3^2 = 1+3+5

Для N=3, квадрат следующего (или 4^2) равен 3^2 + (6+1). Но, мы уже знаем, что 3^2 = 1+3+5, следовательно:

4^2 = 1+3+5+7

и т.д.