量子位元的特殊性质，令科学家对量子计算兴致勃勃。如果能再结合数学上拓扑的概念，或可创造出新的量子计算方式
(D-Wave系统公司所开发的量子电脑晶片)
鼓吹量子电脑的人向我们保证，这种电脑可以执行一般电脑无能为力的计算。在这一类只能依赖量子电脑的计算任务当中，有些具有很重要的应用价值。举例而言，只要有电脑能够在合理的时间之内，将很大的数字分解成其组成因数，就可以破解某些广为使用的密码系统。几乎所有用于保护高度敏感资料的密码系统，都会被某个量子算则所破解。
量子电脑为什么有更强的计算能力？答案在于量子电脑所处理的资讯是以量子位元代表，而非普通位元。一个普通的古典位元只能是0或1；标准的微晶片架构很严谨地在执行这种古典二分法。但是相对而言，一个量子位元则可以处于一种所谓的「叠加状态」，这是一种可以让0的一部份与1的一部份共存的状态。我们可以把可能的量子位元状态看成是球面上的一点。北极代表古典状态1，南极是0，所有介于两者之间的点则代表0或1的所有可能叠加状态（见2003年1月号〈奇妙的量子棋步〉）。量子电脑之所以具有特殊能力，原因就在于量子位元能够自由地在整个球面上漫游。
可惜的是，量子电脑似乎非常难制造。一般而言，我们利用局限于某个地方的粒子（例如单独的原子离子或电子）的某些量子性质，来代表量子位元。但是它们的叠加状态极为脆弱，只要它们和周遭环境（包括所有组成电脑的材料）有一点点不期而来的交互作用，那么叠加状态就会被破坏。如果量子位元不能和环境仔细地隔绝起来，这种干扰就会造成计算上的错误。
因此在设计量子电脑时，绝大多数将焦点置于减少量子位元与环境的交互作用。研究人员知道，一旦错误率可以降低到每一万步计算约只会出现一次，修正错误的步骤就可以用于补偿个别量子位元的衰落。可以运作的量子电脑需要含有大量的量子位元，而每个量子位元与环境的隔离必须好到让错误率如前述的那样低，建造这样的量子电脑是极困难的工作，物理学家距离成功还很遥远。
有一些研究者试图走另一条很不一样的路来建造量子电脑。在这个新办法里，脆弱的量子状态所依赖的是物理系统的拓扑性质。拓扑是一门数学，它研究的对象是物体在平滑变形（例如伸长、挤压、弯曲、但不得切断或连接起来）之下仍会保持不变的性质。拓扑涵盖的项目之一是扭结（knot）理论。微小的扰动并不会改变物体的拓扑性质。例如，一条弦绑成一个扭结的封闭回圈，和没有扭结的封闭回圈相比，在拓扑上两者是不同的（见65页〈拓扑与扭结〉）。将没有扭结的封闭回圈变成一个封闭回圈加上扭结的唯一办法是切断弦，绑出扭结，再将弦的两端封起来。同样的，要把一个拓扑量子位元转变成另一种状态，也非得利用类似的激烈方式不可，来自环境的一点点推挤是改变不了拓扑量子位元的。
乍看之下，拓扑量子电脑根本不像是个电脑。它用来计算的是结成绞辫的弦，而不是传统意义上的实体弦。这种用于计算的弦是物理学家所称的世界线，它所代表的是穿过时间与空间的粒子。 （你可以这么想像：这样一条弦的长度代表粒子在时间轴上的运动，其厚度则代表粒子的实体大小。）此外，这种计算所牵涉到的粒子并非你最初可能想像的电子或质子。其实这种量子电脑所牵涉到的粒子是准粒子（quasiparticle），它是二维电子系统的激发态，它们的行为和高能物理中的粒子与反粒子很像。这些粒子还有个麻烦之处：它们是一种特别型态的准粒子，称为任意子，具有建构量子电脑所需要的数学性质。
执行一次这种量子计算的过程大约是这样子的：首先，创造许多对任意子，将它们沿着一条线排列。 （见66页〈拓扑量子计算的原理〉）每一对任意子就如同一个粒子与其反粒子，是纯粹由能量所创造出来的。
其次，以明确的顺序让一对对相邻的任意子彼此环绕。每一个任意子的世界线基本上就构成一条线，任意子这种对调的运动便制造出了一串这些世界线的绞辫。量子计算就藏在如此形成的特定绞辫里。任意子的最终状态存放了计算的结果，这状态的性质取决于绞辫，而非任何偶然的电磁交互作用。同时绞辫是拓扑性的（把线摇动一下并不会改变绞辫），所以它在本质上就不受外界的影响。目前在微软工作的基塔耶夫（Alexei Y. Kitaev）首先于1997年，提出以这种方式来利用任意子执行计算。
目前也在微软从事研究的傅利曼（Michael H. Freedman）于1988年秋天在哈佛大学演讲，主题就是利用量子拓扑进行计算的可能性。他在1998年发表了一篇研究论文，阐述了他的想法。傅利曼的想法奠基于一项数学发现：某些属于「结不变量」的数学量，和二维曲面随着时间而演变的量子物理有关。如果我们可以创造物理系统的某个状况，同时对它做适当的测量，就可以约略自动计算出结不变量，不然我们就得透过传统电脑执行冗长又不方便的计算。我们也可以利用类似的捷径来执行同样困难、但有实际应用价值的计算。
虽然这一切听起来只不过是和现实无关的理论玄想而已，但是最近对于分数量子霍尔效应的实验，已经让任意子的想法比较扎实一些，研究者已经设想出更多的实验以便执行初步的拓扑量子计算。
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