Saludos a toda la comunidad de Steemit, en las publicaciones anteriores se comenzó a introducir la temática referente a las Relaciones Binarias detallando tanto las nociones fundamentales como las propiedades que se podrían verificar en las mismas cuando son definidas en un conjunto cualquiera. En esta oportunidad conviene aplicar en problemas concretos las definiciones y propiedades anteriormente estudiadas, de manera que el dominio de los referidos saberes puedan ser afianzados de forma exitosa y a su vez seguir avanzando en el estudio de las relaciones.
Como ya hemos aclarado, son nociones propias del Álgebra Abstracta por lo cual la demostración de propiedades y comprobaciones a partir de la aplicación de conceptos teóricos es fundamental en esta área. A continuación presentaré la perspectiva práctica mediante algunos ejercicios.
Como se prometió, a continuación se presentarán las demostraciones de las propiedades que se cumplen en la Composición de Relaciones. Procedamos:
Primera Propiedad: Asociatividad
Lo primero que se debe considerar en esta demostración es que estamos en presencia de una Igualdad de Conjuntos razón por la cual debemos comprobar la doble inclusión tal como establece la definición. Asimismo, conviene tener presente la Definición de Composición de Relaciones. Es claro que debemos tener en cuenta que las relaciones están definidas en los siguientes Productos Cartesianos: R⊂A×B, S⊂B×C y T⊂C×D
i ¿ [(T∘S)∘R]⊂[T∘(S∘R)]?
∀(x,w)∈[(T∘S)∘R]⇒(x,y)∈R∧(y,w)∈(T∘S), por definición de composición de relaciones
⇒(x,y)∈R∧[(y,z)∈S∧(z,w)∈T], por definición de composición de relaciones
⇒[(x,y)∈R∧(y,z)∈S]∧(z,w)∈T, por ley lógica asociativa de la conjunción
⇒(x,z)∈(S∘R)∧(z,w)∈T, por definición de composición de relaciones
⇒(x,w)∈[T∘(S∘R)], por definición de composición de relaciones
∴ Se demuestra que [(T∘S)∘R]⊂[T∘(S∘R)], por definición de Inclusión de Conjuntos.
ii ¿ [T∘(S∘R)]⊂[(T∘S)∘R]?
∀(x,w)∈[T∘(S∘R)]⇒(x,z)∈(S∘R)∧(z,w)∈T, por definición de composición de relaciones
⇒[(x,y)∈R∧(y,z)∈S]∧(z,w)∈T, por definición de composición de relaciones
⇒(x,y)∈R∧[(y,z)∈S∧(z,w)∈T], por ley lógica de asociatividad de la conjunción
⇒(x,y)∈R∧(y,w)∈(T∘S), por definición de composición de relaciones
⇒(x,w)∈[(T∘S)∘R], por definición de composición de relaciones
∴ Se demuestra que [T∘(S∘R)]⊂[(T∘S)∘R], por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (T∘S)∘R⊂T∘(S∘R), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎
Segunda Propiedad: La relación inversa de la composición de relaciones es igual a la composición de relaciones inversas en orden permutado.**
Al igual que en la demostración anterior nos damos cuenta de que se trata de una Igualdad de Conjuntos por lo cual comprobaremos la doble inclusión. Adicionalmente tendremos en cuenta las definiciones de composición de relaciones y la de relación inversa. Procedamos:
Como recordamos de la publicación anterior, una relación definida en un conjunto R⊂A×A eventualmente se puede clasificar dependiendo de las propiedades que se puedan comprobar en la misma. Tales posibilidades previa verificación permitirían especificar si una relación es
- Reflexividad
- Simetría
- Transitividad
- Antisimetría
Las mismas se pueden cumplir en su totalidad o sólo algunas de ellas, en cuyo caso es conveniente estudiar las relaciones dadas de acuerdo a la forma como están definidas las propiedades, y por ende, se estarían clasificando. A continuación se desarrollará un ejemplo que amplíe esta noción.
- En el conjunto de los Números Reales R se considera la relación S definida como sigue
(x,y)∈S⟺x-y∈Z
Clasificar S.
Solución
Nos piden clasificar la relación dada lo cual nos lleva a comprobar cuales propiedades se cumplen en la misma.
Reflexividad: Recordemos que en esta propiedad se trata de verificar si todo elemento del Conjunto de los Números Reales R está relacionado consigo mismo de acuerdo a la forma como está definida la relación dada, o dicho de otra forma sería constatar si la Diagonal es subconjunto de la relación S. Comencemos: (recordemos que siempre hay que tener presente como está definida la relación dada)
∀x∈Z⇒(-x)∈Z , por existencia de elemento opuesto en el conjunto de los números enteros Z
⇒x+(-x)∈Z , por clausura de la adición en el conjunto de los números enteros Z
⇒x+(-x)=0, por definición de elemento opuesto en el conjunto de los números enteros Z
⇒x-x=0, 0∈Z, por existencia de elemento neutro para la adición en el conjunto de los números enteros Z y por convenio de notación x-x=x+(-x), ∀x∈Z
⇒x-x∈Z , por la deducción anterior
⇒ (x,x)∈S, por definición de la relación dada S
∴ S es Reflexiva, por definición de reflexividad.
Simetría: Para verificar esta propiedad debemos evidenciar que si un par ordenado pertenece a la relación su permutado también se encuentra en la misma. Realicemos el procedimiento respectivo:
∀(x,y)∈S⇒x-y∈Z, por definición de la relación dada S
⇒x+(-y)∈Z, por convenio de notación x-y=x+(-y), ∀x,y∈Z
⇒-[x+(-y)]∈Z, por existencia de elemento opuesto en el conjunto de los números reales R
⇒(-1)[x+(-y)]∈Z, por definición de elemento neutro para la multiplicación en Z
⇒-x+[(-1)(-y)]∈Z, por propiedad distributiva en Z
⇒-x+y∈Z, por definición de elemento neutro para la multiplicación en Z y por regla de los signos para la multiplicación en Z
⇒y+(-x)∈Z, por propiedad conmutativa para la adición en Z
⇒y-x∈Z, por convenio de notación x-y=x+(-y), ∀x,y∈Z
⇒(y,x)∈S, por definición de la relación dada S
∴ S es Simétrica, por definición de simetría.
Transitividad: La comprobación de esta propiedad nos pide poner en evidencia que si un elemento está relacionado con un segundo y un segundo está relacionado con un tercero entonces el primero está relacionado con el tercero. Procedamos:
∀(x,y),(y,z)∈S⇒x-y∈Z∧y-z∈Z, por definición de la relación dada S
⇒x+(-y)∈Z∧y+(-z)∈Z, por convenio de notación x-y=x+(-y), ∀x,y∈Z
⇒{[x+(-y)]+[y+(-z)]}∈Z, por clausura de la adición en el conjunto de los números enteros Z
⇒{x+[(-y)+y]+(-z)}∈Z, por propiedad asociativa de la adición en el conjunto de los números enteros Z
⇒[(x+0)+(-z)]∈Z, por definición de elemento opuesto en el conjunto de los números enteros Z
⇒x+(-z)∈Z, por definición de elemento neutro para la adición en el conjunto de los números enteros Z
⇒x-z∈Z, por convenio de notación x-y=x+(-y), ∀x,y∈Z
⇒(x,z)∈S, por definición de la relación dada S
∴ S es Transitiva, por definición de transitividad.
Antisimetría: En este caso basta con un contraejemplo para darnos cuenta que esta propiedad no se cumple para la relación dada S como se muestra a continuación
(1,2)∈S y (2,1)∈S sin embargo 1≠2
∴ S es no es Antisimétrica, por definición de antisimetría.
La visualización gráfica se puede observar en la siguiente imagen
En la representación gráfica consideramos lo siguiente
x-y∈Z⇒x-y=k,k∈Z
⇒[(-x)+x]-y=-x+k
⇒0-y=-x+k
⇒-y=-x+k
⇒y=x-k, k∈Z
Esto indica que para cada valor de k∈Z, tendremos la posibilidad de graficar una línea recta. Luego, la relación S viene dada por una familia de rectas expresada en el siguiente conjunto
Hemos logrado precisar ejemplos particulares en los cuales se pueden mostrar y afianzar los conceptos relacionados con las Relaciones Binarias y sus Propiedades, adicionalmente nos hemos apoyado en propiedades que se verifican en conjuntos numéricos como los reales y los enteros así como en leyes lógicas ya conocidas y aplicadas en ejercicios planteados en anteriores publicaciones. Lo interesante de esto es que para las demostraciones y abordajes en la resolución de problemas en Matemática existen definiciones, propiedades y leyes válidas en el ámbito mismo de la Matemática y la Lógica que le dan veracidad a los procedimientos, razón por la cual es innecesario forzar los procesos, en el ámbito matemático siempre hay caminos válidos.
En este sentido, en las siguientes publicaciones seguiremos avanzando en la temática relativa a las Relaciones Binarias presentando un nuevo tópico, nos estamos leyendo.
“La matemática es el trabajo del espíritu humano que ésta destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla” - Evariste Galois .
Referencia
Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.
Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.
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