Deducción de la identidad de Euler: La más bella y elegante ecuación de las matemáticas

in #spanish6 years ago (edited)


Identidad de Euler




Leonard Euler (1707-1783)

Leonhard Paul Euler, sin lugar a dudas el más prolífico matemático del siglo XVIII y posiblemente de todos los tiempos; además de matemático fue físico y filósofo, llego a escribir más de 30.000 páginas (más de 80 volúmenes), sobre cálculo, física, óptica, mecánica,ingeniería, filosofía , una hazaña que no pueden hacer las mentes mediocres aunque se propongan escribir sólo cosas sin sentido.



Su manera original y elegante de notación matemática ha trascendido hasta nuestros días, ha sido quien más ha influido en el análisis matemático con su acuciosidad, organización, sistematización y elegancia, al presentar aspectos complejos de la matemática, de la manera más simple y precisa.

La llamada "Identidad de Euler", es un caso especial y particular de una fórmula desarrollada por Euler a partir de series de potencias, que no son más que la representación de funciones a partir de sumas infinitas de términos, a la cuales siempre dispensó una particular atención. Su identidad es un poema matemático sencillo, pues posee 5 números emblemáticos en la historia de las matemáticas:

  • (número de Euler): Un número trascendente que aparece en muchos fenómenos naturales

  • (número pi): Un número trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro

  • (número i): Unidad imaginaria, cuyo valor es la raíz cuadrada de -1, y constituye la base de los números complejos

  • (número 0): Elemento neutro para la suma

  • (número 1): Elemento neutro para la multiplicación.



Euler hizo la deducción de la fórmula que aparece a la derecha, empleando series de potencias a las que era gran aficionado, sin embargo yo particularmente haré primeramente una deducción un tanto más sencilla y fácil de recordar, para luego proceder a hacer de la manera más breve y simple posible la relativamente larga deducción que hizo este gran genio matemático de todos los tiempos.



A la derecha observamos el "Plano Complejo". De manera que el vector





suponiendo el módulo nos queda

Luego derivo el vector Z respecto al ángulo (lo que representa la velocidad de giro del vector, cuando barre el área circular)

=

por tanto la ecuación (a) será:

¡ATENCIÓN! Ahora la genialidad consiste en darse cuenta que:




  • al sustituir en la ecuación (a):

sabiendo que:

Nos queda:

Sacando factor común i quedará:

ahora podemos observar que lo que está entre paréntesis es:

De manera que sustituyendo:

Ordenando variables a ambos términos de la ecuación:

Aplicando la integral a ambos miembros de la ecuación:

Lo que da como resultado al resolver la integral indefinida:



Esta es la ecuación de Euler en términos generales:

Ahora para el caso particular de

quedaría al sustituir:

y sabiendo que:



Así se vería la ecuación particular.

¡Y de acá!


RESULTA LA MÁS BELLA Y ELEGANTE ECUACIÓN DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

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Identidad de Euler

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