Derivar una función exponencial y su inversa

[ycam]

Función exponencial y función inversa

^{Derivada de una función y de su función inversa}

Este fin de semana recordé un ejemplo simple de la derivada de una función exponencial y la inversa de una función, puesto que debemos tener presente los procedimientos aplicados en cada una de ellas, así que veamos de que se trata con el siguiente ejemplo:

f(X) = X³
h(X) = 10^{2X − 3}
Para hallar la inversa de f(X) = X³ existe un procedimiento estándar que consiste en que cada elemento del dominio tenga su imagen única en el codominio en un sentidos, pero a la inversa se cumple que cada elemento de el codominio tendrá un elemento en el dominio de donde se originó.

Se cumple la evaluación de la función con la variación del parámetro X, así:

f(X) = X³
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27

Por lo que para hallar su función inversa, el procedimiento es sustituir o reemplazar la variable X por Y (una imagen en el codominio) y resolver la función para este parámetro. Así que la solución sería la función inversa dada por:

Y = f(X) = X³
Y = X³
reemplazamos X por Y:
X = g(Y) = Y³
y finalmente resolvemos la función g(X) para la el parámetro Y:
g(Y) = f^-1(Y) = ∛X

La función inversa se expresa de la siguiente manera:
Y = f(X) ⇔ X = g(Y) = f^-1(Y)
Note que indistintamente podemos usar el conjunto de elementos de la imagen a un lado (función directa) o al otro lado (función inversa) correspondiéndole 1 único elemento origen en el conjunto de elementos del dominio de la función estudiada.

Si hacemos la representación gráfica de la función Y = f(X) = X³, podemos derivar esa función y determinar los máximos y mínimos de esa función.

Observación: la función exponencial corresponde a la de un polinomio de grado 3 y tiene la forma observada en la gráfica representada arriba. Si analizamos la función, vemos que el exponente es impar, por lo que resultaría un número negativo (Y < 0) para valores negativos de X, pero también se obtiene Y = 0 para X = 0. En el primer cuadrante no tendríamos otro resultado que todos serían valores positivos, tanto de X como de Y.

Hallar la derivada de f(X) = X³

Ya hemos visto el procedimiento que se rige por las reglas de las derivadas, así que las aplicaremos en este caso particular:

Puedo hallar la pendiente en cada punto de la curva original de la función f(X) para todo x, esta la represento como línea continua de color naranja f(X)´

---

Gráfica de la derivada de la función f(X)

, no es más que la forma gráfica de una parábola, ya que el resultado es una función polinómica de orden 2, esto es: f(X)´ = 3X².

No hay duda que todos los valores de Y´ serán todos positivos, ya que el exponente es un número par.

Aplicamos el mismo procedimiento a la función inversa que hemos calculado anteriormente, es decir que debemos graficar y hallar la pendiente en cada punto, también se deben aplicar las reglas de la derivación y hallar la derivada de la función inversa g(Y) = f^-1(Y) = ∛X

La derivada de la función inversa

, no es otra cosa que aplicar la misma regla de la derivada considerando el exponente de la variable X y restarle la unidad.

Note que la gráfica de la función inversa está relacionada con el cociente de la variable X:

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:

• Publicación: Hallar la inversa de una función exponencial
• Wikipedia: Función inversa
• Wikipedia: Derivación implícita
• Imagen CC0: Imagen de la portada

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