Probabilidades: Unión e Intersección de Conjuntos

Cuando nos dedicamos a seleccionar a un grupo de sucesos, individuos, cualidades o elementos que tengan alguna particularidad en común, los podemos "meter en un mismo saco" (coloquialmente), es decir, podemos agruparlos en un conjunto (matemáticamente). Al conjunto por extensión o por comprensión los representamos por medio de símbolos gráficos (cajas o círculos, también entre caracteres alfanuméricos especiales (corchetes, paréntesis o llaves), siendo susceptibles a la aplicación de las propiedades de conjuntos: unión e intersección de conjuntos.

Nuevamente, debemos tener presente los términos matemáticos relacionados con las probabilidades, a) el espacio muestral, como el total de los elementos que cumplen ciertas condiciones características que formarían un conjunto universal que daría lugar a las posibilidades que ocurra un evento particular, b) la regla de Laplace, para calcular el porcentaje de probabilidad dentro de un número finito de experimentos aleatorios.

Vamos a dilucidar estos aspectos básicos mediante un ejemplo particular. Supongamos que se tienen 2 grupos de esferas de colores, 7 esferas son de color azul y 9 esferas son de color verde. Se toman 3 cajas de cartón y se etiquetan con las letras A, B y C para ingresar varias esferas de colores. Se forman 3 conjuntos con los elementos señalados:

A: {azul, azul, verde, verde, verde} B: {azul, azul, azul, verde, verde} C: {azul, azul, verde, verde, verde, verde}

Si se extrae 1 esfera al azar desde cada caja, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 esferas de color azul y 1 esfera verde?

Note que se han formado 3 conjuntos (A, B y C) con elementos comunes (esferas de color azul y verde), por lo que la lógica matemática nos indica que se originaría una intersección de conjuntos con eventos probabilísticos de sacar 1 esfera de color azul o verde de cada una de las cajas, dada como: A⋂B⋂C.

La regla multiplicativa que involucra a los eventos independientes se puede representar mediante la relación general:

Repetimos lo que expliqué en publicaciones anteriores, la probabilidad de ocurrencia de un evento se determina mediante la Regla de Laplace:

Como el número total de casos posibles en cada caja es diferente, pues cada espacio muestral (EM) también será diferente, siendo en cada conjunto igual a:

La probabilidad de sacar 1 esfera azul desde la caja A, será:

Mientras que la probabilidad de sacar 1 esfera de color verde desde la caja A, será:

Veamos los otros eventos posibles en los demás conjuntos que hemos formado:

La regla de Laplace aplicada a cada caso o experimento al azar, donde cada evento es equiprobable.

Retomando la pregunta original, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 esferas de color azul y 1 esfera verde? y considerando que son sucesos independientes y equiprobables, además de contar con elementos comunes en los 3 conjuntos, usaremos las propiedades de intersección de conjuntos y la regla multiplicativa de la probabilidad, representadas por las 3 posibilidades:

Desarrollando cada una de las posibilidades, calculamos la probabilidad de cada evento posible:

¡Mucha atención!
: porque este no es el reultado final, pues se trata de sólo 1 de las posibilidades entre las 3 que hemos planteado, así que sigamos desarrollando este interesante ejemplo.

La lógica matemática nos permite prever que existe otro evento posible como es la extracción de esferas en el siguiente orden: Caja A: esfera azul Caja B: esfera verde Caja C: esfera azul

además de la posibilidad de extraer 1 esfera de color verde en la primera caja, 1 esfera azul en la caja B y 1 esfera de color azul en la tercera caja.

La probabilidad de sacar 2 esferas azules y 1 esfera verde viene dada por la suma de las probabilidades de las 3 posibilidades calculadas anteriormente.

Esto representa el 33,3% de probabilidad.

Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes

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