Desigualdad Triangular - Solución de problemas

Desigualdad triangular

Usando las propiedades que se expusieron en el post anterior de números complejos, (ver Fuente, podemos deducir una propiedad importante llamada la desiguialdad triangular, la cual tiene la siguiente expresión.

$\left | z_{1}+z_{2} \right |\leqslant \left|z_{1}\right| +\left|z_{2}\right|\qquad \left ( 1 \right )$

Prueba.

$\left | z_{1}+z_{2} \right |^{2} = \left(z_{1}+z_{2}\right) \overline{\left (z_{1}+z_{2}\right)} \\ \\ \left | z_{1}+z_{2} \right |^{2} = z_{1}\overline{z_{1}}+ z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}\\ \\ \left | z_{1}+z_{2} \right |^{2}= z_{1}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}} +\left (z_{1}\overline{z_{2}} + z_{2}\overline{z_{1}} \right )\\ \\ \left| z_{1}+z_{2}\right|^{2} =\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+ \left(z_{1}\overline{z_{2}}+\overline{z_{1}\overline{z_{2}}} \right)$

recordando la ecuación (9) del post anterior, (ver Fuente) podemos escribir

$\left | z_{1}+z_{2} \right |^{2} = \left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+ 2\mathbf{Re}\left ( z_{1}\overline{z_{2}} \right)$

Pero por la ecuación (3a) del post antierior tenemos

$2\mathbf{Re}\left ( z_{1}\overline{z_{2}} \right)\leqslant \left | z_{1}\overline{z_{2}} \right |$

Entonces

$\left| z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leqslant \left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+ 2\left |z_{1} \overline{z_{2}}\right |\\ \\ .\quad \left| z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leqslant \left|z_{1}\right|^{2}+ \left|z_{2}\right|^{2}+ 2\left |z_{1}\right | \left |\overline{z_{2}}\right |\\ \\ .\quad \left| z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leqslant \left|z_{1}\right|^{2}+ \left|z_{2}\right|^{2}+ 2\left |z_{1}\right | \left |z_{2}\right| \\ \\ .\quad \left| z_{1}+z_{2}\right|^{2} \leqslant \left (\left | z_{1} \right |+ \left | z_{2} \right | \right )^{2} \\ \\ .\quad \left| z_{1}+z_{2}\right| \leqslant \left | z_{1} \right | + \left | z_{2} \right |\qquad \textrm{Q.E.D}$

De (1) podemos extraer lo siguiente

$\left| z_{1}+z_{2}+z_{3}\right| \leqslant \left | z_{1} \right | + \left | z_{2} \right | + \left | z_{3} \right |\\ \\$

Ya que sí

$z_{1}+z_{2}=z_{4} \Longrightarrow \left | z_{1} +z_{2}+z_{3}\right |=\left | z_{4} +z_{3}\right |\\ \\ \textrm{Entonces}\\ \\ \left | z_{4} +z_{3}\right |\leqslant \left | z_{4} \right | + \left | z_{3} \right |\\ \\ \textrm{Pero}\\ \\ \left | z_{4} \right | = \left | z_{1} +z_{2}\right |\leqslant \left | z_{1}\right |+\left | z_{2} \right |$

Por lo tanto

$\left | z_{1}+z_{2}+z_{3} \right |\leqslant \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |+\left | z_{3} \right |$

Entonces por inducción matemática podemos expresar lo siguiente

$\left |\sum_{k=1}^{n}z_{k} \right |\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left | z_{k} \right |\qquad n=1,2,3,\cdots \qquad\left ( 2 \right )$

también tenemos la siguiente desigualdad

$\left | \left | z_{1} \right |-\left | z_{2} \right | \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right |\qquad\left ( 3 \right )$

Prueba.

Sí

$\left | z_{1} \right |=\left | z_{1}+z_{2}-z_{2} \right | =\left | \left ( z_{1}+z_{2}\right )+\left ( -z_{2} \right ) \right | \\ \\ .\quad \left | \left ( z_{1}+z_{2}\right )+\left ( -z_{2} \right ) \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right |+\left | -z_{2} \right |\\ \\ .\quad \left | \left ( z_{1}+z_{2}\right )+\left ( -z_{2} \right ) \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right |+\left | z_{2} \right |\\ \\ .\quad \left | z_{1} \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right |+\left | z_{2} \right |$

Entonces

$\left | z_{1} \right |-\left | z_{2} \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right | \\ \\ \textrm{Si}\ z_{1}=-z_{2},\ \textrm{se cumple la igualdad}\\ \\ \textrm{Si}\ \left |z_{1} \right |\geq \left |z_{2} \right |,\ \textrm{se cumple (3)} \\ \\ \textrm{Si}\ \left |z_{1} \right |< \left |z_{2} \right |,\ \textrm{entonces hacemos el siguiente cambio.} \\ \\ -\left ( \left | z_{2} \right |-\left | z_{1} \right | \right ) \leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right |$

Luego

$\left |-\left ( \left | z_{2} \right |-\left | z_{1} \right | \right ) \right | = \left |\left | z_{2} \right |-\left | z_{1} \right | \right |\\ \\ \left |\left | z_{2} \right |-\left | z_{1} \right | \right | \leq \left | z_{1}+z_{2} \right |\ \textrm{Q.E.D}$

De la prueba de (3) podemos extraer dos colorarios.

$\left | z_{1} \right |-\left | z_{2} \right |\leqslant \left | z_{1}+z_{2} \right | \qquad \left ( 4 \right )$

$\left |\left | z_{2} \right |-\left | z_{1} \right | \right | \leq \left | z_{1}+z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right | \qquad \left ( 5 \right )$

A continuación procedemos a resolver ejercicios en los que aplicaremos los conocimientos adquiridos en este post y en los anteriores.

Video 1: Demostración de la fórmula de Pascal

Video 2: Problema de inducción matemática

Video 3: Problema de ecuación de un círculo

Video 4: Problema del punto medio

Video 5: Dos problemas sencillos

Bibliografía

Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003.
Volkovyski L., Lunts G., Aramanovich I. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, Moscú, 1984.

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stemsocial (63) 2 years ago

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