Propiedades algebraicas de los números complejos. 2da.Parte

En el post anterior relacionado con números complejos (Ver Fuente) habíamos quedado en el inverso multiplicativo de un número complejo z diferente de cero. A continuación seguimos con las operaciones algebraicas de estos número tan importantes para la física y la matemática.

División por un número complejo diferente de cero

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1}z_{2}^{-1} \qquad z_{2}\neq 0 \qquad \left ( 9 \right )$

De las ecuaciones (8) y (9) tenemos

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left ( \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}, \frac{y_{1}x_{2}- x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right )\\ \\ .\qquad \ = \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i\ \frac{y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\qquad z _{2}\neq 0\qquad \left (10 \right )$

Prueba.

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1}z_{2}^{-1}=\left (x_{1},y_{1}\right )\left (\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}, \frac{-y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right )\\$

$\frac{z_{1}}{z_{2}}= \left [ x_{1}\left ( \frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)-y_{1}\left (\frac{-y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right )\ , y_{1}\left ( \frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\right)+x_{1}\left ( \frac{-y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right ) \right ]$

$\frac{z_{1}}{z_{2}}= \left [ \frac{x_{1}x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\ + \frac{y_{1}y_{2}}{y_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\ , \frac{y_{1}x_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\ -\frac{x_{1}y_{2}}{y_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right ] \\ \\ \\ .\qquad\frac{z_{1}}{z_{2}}=\left ( \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\ , \frac{y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right )$

$\textrm{Si} \ z_{1}=1, \textrm{la ecuaci\'on (9) quega de la siguiente forma }$

$\frac{1}{z_{2}}=z_{2}^{-1}\ \Longrightarrow \ \frac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1}\left ( \frac{1}{z_{2}} \right ), \qquad z_{2}\neq 0 \qquad (11)$

De las ecuaciones anteriores podemos obtener la siguiente expresión:

$\frac{1}{z_{1}z_{2}} = \left ( \frac{1}{z_{1}} \right )\left ( \frac{1}{z_{2}} \right )\qquad z_{1}\neq 0,\ z_{2}\neq 0, \ z_{1}z_{2}\neq 0 \qquad \left (12 \right)$

Usando las ecuaciones (11) y (12) podemos escribir

$\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{3}}=\frac{z_{1}}{z_{3}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}, \quad \frac{z_{1}z_{2}}{z_{3}z_{4}}=\left ( \frac{z_{1}}{z_{3}} \right ) \left ( \frac{z_{2}}{z_{4}} \right ) \qquad \left ( 13 \right ) \\ \\ . \qquad \qquad z_{3}\neq 0,\ z_{4}\neq 0 ,\ z_{3} z_{4}\neq 0$

A continuación presento cinco videos en el que resulevo y explico cinco problemas importantes relacionado con las propiedades de los números complejos, es decir, la teoría que hemos expuesto en este post y en los anteriores.

Video 1: Problema 1 de numeros complejos

Video 2: Problema 2 de numeros complejos

Video 3: Problema 3 de numeros complejos

Video 4: Problema 4 de numeros complejos

Video 5: Problema 5 de numeros complejos

Bibliografía

Churchill R., Brown J., Verhey R. Complex variables and applications. 3th. Ed. McGraw-Hill, New York, 1976.
Spiegel M. Variable compleja. McGraw-Hill (Serie Schaum), México, 1971.
Saff E., Snider A. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 3th. Ed. 2003

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nenio (73) 3 years ago (edited)

Una acotación:
Desde el punto de vista algebraico, los números complejos $(\mathbb{C}, +, .)$ es un cuerpo tal que:

Tiene a los reales como sub-cuerpo
Tiene un elemento i, tal que i^2=-1
Es el cuerpo más chico con las dos propiedades anteriores.

Es algebraicamente cerrado (Teorema fundamental del álgebra).
Además son un álgebra conmutativa sobre los reales.

Adicionalmente a su estructura algebraica, el conjunto de los números complejos tiene una estructura topológica bastante rica.

Saludos.

$0.00

rnunez09 (68) 3 years ago

Saludos nenio. Primero que nada quiero disculparme por lo tarde de mi respuesta. Fui descuidado al pasar por alto tu comentario, ojalá y puedas ver mi respuesta.
Agradezco muchísimo tu acotación, sí, los números complejos tienen una serie de propiedades algbraicas muy importantes y las que tu señalas pertenecen a lo que llamamos algebra abstracta, estas últimas son se suma utilidad, y fundamentales, en la matemática de la mecánica cuántica.
Una vez más, muchísimas gracias por tu valioso comentario.

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stemsocial (64) 3 years ago

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