Cuando evaluamos una función matemática procedemos a asignar valores a una variable independiente que será el dominio y origen de la relación con el conjunto de valores finales o de llegada, conocido como el codominio de la función, de tal manera que existe una dependencia entre un par de conjunto de valores.
Este procedimiento es muy común cuando hacemos una tabla de valores de X y los sustituimos en la ecuación o función para obtener los valores de Y, con los cuales usamos como pares de coordenadas para hacer una gráfica de la función. Esta es una forma simple y sencilla de evaluar una función en diferentes puntos de la línea que representa la dependencia entre las variables, pero a veces resulta imperiosa la necesidad de estimar la tendencia de la función para realizar un análisis cuando tenemos la certeza de que vamos a converger en un valor límite determinado por nosotros como punto de interés.
Sólo como una forma de introducirnos en el tema de límites de una función como tendencia de un evento o convergencia a un borde, les mencionaré el caso de la igualdad y eliminación de términos, donde hicimos una relación de igualdad entre un pastel considerado como la unidad "1" y las diferentes porciones en que las podíamos cortar, así tendríamos 2 porciones de ½, o 4 porciones de ¼ hasta llegar a un valor límite de obtener n trozos con un tamaño 1/n adecuado para disfrutar el pastel.
Lápiz y papel para el cálculo matemático
Tal vez algunos nos señalen: 2 - 2,1 - 2,2 - 2,3 - 2,4 - 2,5 - 2,6 - 2,7 - 2,8 - 2.9 - 3
mientras que otros más atrevidos dirán: 2 - 2,5 - 3
Sin embargo, matemáticamente hablando, entre 2 números que pertenecen a los ℝ existen infinitos valores de números ℝ que podamos representar en este "pequeño intervalo".
2 - 2,00090987986876435587464379754049900650005490457361 - 2,9877865674255600653263567 - ................................................................ - (∞ valores intermedios) - 3 Tal vez ese tipo de numeración nos pueda aportar información muy importante de algún evento natural, físico, biológico o de cualquier índole si tratamos de analizar la tendencia de una función más que evaluar una función. Veamos algunos ejemplos: Si tenemos 2 funciones, una que nos represente una dependencia lineal f(x) = X + 2 y otra que tenga una forma cuadrática g(X) = X2, asignaremos valores arbitrarios a X de tal manera que obtengamos su correspondiente valor en el codominio, expresados en la tabla insertada en la siguiente gráfica.
Observamos una línea recta y una parábola que se corresponde muy bien con las funciones dadas. Si consideramos la definición del límite lateral de una función, analizaríamos la tendencia de cada función con el límite por la izquierda para X < 2 y con el límite por la derecha para valores ligeramente superiores a 2. En otras palabras, veremos qué valores devuelve la función f(x) y g(x) cuando se le asignan valores de entrada cuando existe una tendencia de acercarnos (por la derecha o por la izquierda) al extremo o punto seleccionado de nuestro interés, en este caso cuando X → 2.
Para determinar si existe el límite de una función se deben cumplir al menos las condiciones que los límites laterales por la izquierda y por la derecha existan, además que estos límites laterales no sean diferentes.
De momento, nos ajustaremos a la definición más precisa de tratar al límite de una función como una tendencia, más que evaluarla en un valor determinado. Para visualizarlo de mejor manera, les presento una gráfica de la función f(X) = X+2 con cuadrados negros, mientras que los valores que tienden a 2 o se aproximan a 2 por la izquierda, convergen a un valor límite de 4 y que las represento con círculos de color rojo.
Para verificar si esta función f(X) o g(X) tienen un "límite", debemos proceder de la manera descrita arriba, pero ahora nos acercaremos desde la derecha hasta "el extremo" cuando X → 2, además, los límites laterales deben ser iguales!
Insisto en tener claro que el límite de una función se basa en el análisis de una tendencia más que desarrollar las operaciones algebraicas para "evaluar" una ecuación, voy a dejar planteado el ejemplo:
Mi compromiso para este año 2021 será la publicación de artículos con contenido en el área de Tecnología e Ingeniería con mayor calidad y originalidad en esta nueva red de comunicación social llamada HIVE.BLOG y tratar de complementar con varios problemas de Matemática: Cálculo Integral y Diferencial que tantos días de estudio me llevó durante mis estudios universitarios.
Apoyo bibliográfico y fuente de imágenes
Nuestras ideas y conocimientos que podamos tener sobre el tema tratado en este artículo pueden ampliarse de manera voluntaria al consultar el siguiente catálogo de referencias:
- Tema de Apartado: Límites laterales
- Imagen de Jorgeduardo: Profesora
- Imagen de Jorgeduardo: Profesora y pizarra
- Dibujo de Jorgeduardo: Papel sobre madera
- Artículo de matemovil: Límites laterales, ejercicios resueltos
- Informe: Límites
El lenguaje matemático es y debe ser universal,
debemos leer más y aplicar la terminología correcta!
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Que buenos recuerdos de cuando vi por primera vez este tema en la universidad.
Excelente trabajo.